Electromagnetismo

Inducción
electromagnética

Espiras en un campo
magnético variable (I)

Espiras en un campo
magnético variable (II)

Demostración de
la ley de Faraday

Acelerador de partículas
El betatrón

Varilla que se mueve
en un c. magnético

Caída de una varilla
en un c. magnético

Movimiento de una
espira a través de
un c. magnético

Corrientes de
Foucault (I)

Corrientes de
Foucault (II)

Inducción homopolar

Un disco motor y
generador

Autoinducción.
Circuito R-L

Circuitos acoplados

Oscilaciones eléctricas

Elementos de un
circuito de C.A.

Circuito LCR en serie
Resonancia

Medida de la velocidad
de la luz en el vacío

Efectos mecánicos de
la ley de Faraday

El anillo de Thomson (I)

El anillo de Thomson (II)

Coeficiente de inducción mutua

Fuerza sobre el anillo

Conclusiones

Para realizar la simulación, sustituimos el solenoide por una bobina de 1000 espiras apretadas de radio 3.5 cm, y situamos el anillo a distancias variables de la bobina comprendidas entre 5 mm y 10 cm.

Campo producido por una corriente circular

Calculamos el campo magnético producido por una corriente circular.

La ley de Biot-Savart afirma que el campo B producido por una corriente I_s se obtiene

Donde dl es un elemento de corriente, u_t es un vector unitario que señala la dirección y sentido de la corriente, y u_r es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el campo magnético.

El campo producido por una espira de radio b tiene simetría axial, bastará calcular las componentes B_y y B_z del campo magnético en un punto P (y, z) del plano YZ.

Como vemos en la figura, la distancia r entre el elemento de corriente dl=b·df que está situado en el punto (b·cosf , b·senf , 0) y el punto P (0, y, z) considerado es

Efectuando el producto vectorial u_t ´ u_r, las componentes del campo son

La primera integral es inmediata y vale cero B_x=0, como se esperaba por la simetría de la corriente, y B_y es la componente radial del campo.

Las integrales se calculan numéricamente empleando el procedimiento de Simpson. El campo magnético calculado se multiplica por el número N de espiras de la bobina.

Como podemos observar en el applet que dibuja las líneas del campo magnético producido por un solenoide. El campo magnético producido por una espira tiene la forma que se observa en la figura. En la posición que ocupa el anillo (a, z), el campo B producido por la espira tiene dos componentes una radial By y otra vertical  Bz

Ley de Gauss para el campo magnético

Existe una relación entre las componentes radial y axial del campo magnético

La ley de Gauss aplicada al campo magnético afirma que el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo, ya que no existen cargas magnéticas aisladas análogas a las eléctricas.

Tomemos una superficie cerrada de forma cilíndrica de radio y, de altura dz. Como observamos en la figura (lineas del solenoide) el campo magnético fuera del solenoide deja de ser paralelo al eje del mismo. Tal como se aprecia en la figura el campo magnético entra por la base inferior y sale por la superficie lateral y por la base superior de la superficie cerrada.

El flujo total será

Como casos particulares consideramos el campo magnético en un punto del eje de la espira y=0.

y en el centro de la espira z=0.

Para calcular el campo magnético en el punto (y, z) producido por una bobina formada por N espiras apretadas, se multiplica por N el campo magnético producido por una espira.

Coeficiente de inducción mutua

Se puede calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos circuitos se calcula mediante la fórmula

donde dl₁ es un elemento del primer circuito, dl₂ es un elemento del segundo circuito y r es la distancia entre ambos elementos. (Véase Lorrain, Corson. Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas, págs 366-367).

Como vemos en la figura, el elemento de corriente es un arco infinitesimal de circunferencia de radio a (arco igual a radio por ángulo comprendido) dl₁= a·dq ₁ y dl₂= a·dq ₂

Las componentes de los vectores dl₁ y dl₂ son

dl₁= a·dq ₁(-senq ₁ i+cosq ₁ j)

dl₂= a·dq ₂(-senq ₂ i+cosq ₂ j)

La distancia r entre dichos elementos de corriente es la misma que la distancia entre el punto A (a·cosq ₁, a·senq ₁, 0) y el punto B (a·cosq ₂, a·senq ₂, z), es decir,

Tenemos que calcular la integral doble

Que se calcula numéricamente empleando el procedimiento de Simpson.Finalmente, se multiplica M por el número N de espiras de la bobina.

En la figura, se muestra como el coeficiente de inducción mutua M disminuye rápidamente a medida que el anillo se separa del solenoide. La corriente inducida dismininuirá con z, y también lo hará aún más rápidamente la fuerza sobre el anillo, ya que el campo producido por el solenoide disminuye con z.

Flujo a través del anillo

Podemos calcular el coeficiente de inducción mutua M por otro procedimiento.

Se define el coeficiente de inducción mutua M como el cociente entre el flujo F del campo magnético producido por el primario (bobina) a través del secundario (anillo) y la intensidad de la corriente que circula por el primario I_s.

M=F /I_s.

Cuando el anillo está situado a una altura z, calculamos la componente del campo Bz producido por la bobina en los puntos y0=0, yi=(i+1/2)·D y, i=1, ...n-1. Donde D y=a/n, n es el número de divisiones del radio del anillo. Multiplicamos el producto del campo por el área de las superficies en color amarillo o verde tal como se aprecia en la figura, y sumamos los resultados para obtener el flujo total. Finalmente dividimos entre la intensidad Is

Fuerza sobre el anillo

En la página anterior, hemos calculado la fuerza sobre el anillo como producto de la componente radial del campo magnético B_y, la intensidad de la corriente inducida en el anillo I_a, y la longitud del anillo 2p a.

F_z=-2p a·I_a·B_y.

Podemos emplear otro procedimiento de cálculo, basado en la fórmula de la   fuerza entre dos corrientes. (Véase Lorrain, Corson. Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas págs 312-313, 383-385)

Donde r es un vector que va del punto A al B.

La expresión del vector r en términos de sus componentes rectangulares es

r=(a·cosq₂-a·cosq₁)i+(a·senq₂-a·senq₁)j+zk

Por simetría las componentes F_x y F_y se anulan quedando solamente la componente F_z

Esta integral doble se calcula numéricamente empleando el procedimiento de Simpson. Finalmente, se multiplica F_z por el número N de espiras de la bobina.

Conclusiones

Tenemos dos procedimientos para calcular el coeficiente de inducción mutua y la fuerza entre dos espiras paralelas separadas z. Ambos procedimientos tienen que dar resultados parecidos dentro de un margen de error inherente a cualquier procedimiento numérico.