Electromagnetismo

Inducción
electromagnética

Espiras en un campo
magnético variable (I)

Espiras en un campo
magnético variable (II)

Demostración de
la ley de Faraday

Acelerador de partículas
El betatrón

Varilla que se mueve
en un c. magnético

Caída de una varilla
en un c. magnético

Movimiento de una
espira a través de
un c. magnético

Corrientes de
Foucault (I)

Corrientes de
Foucault (II)

Inducción homopolar

Un disco motor y
generador

Autoinducción.
Circuito R-L

Circuitos acoplados

Oscilaciones eléctricas

Elementos de un
circuito de C.A.

Circuito LCR en serie
Resonancia

Medida de la velocidad
de la luz en el vacío

Efectos mecánicos de
la ley de Faraday

El anillo de Thomson (I)

El anillo de Thomson (II)

Fuerza sobre el anillo

El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna

Corriente inducida en el anillo. Ecuación del circuito

Simulación del anillo de Thomson.

Actividades

Experimentos. Representación gráfica

El dispositivo experimental consiste en un solenoide provisto de un núcleo de hierro laminado de un transformador desmontable y un anillo de aluminio de 62 mm de diámetro, 15 mm de longitud y 1 mm de espesor.

Si se conecta el solenoide a una fuente de corriente alterna de 50 Hz se observa que el anillo flota en el aire a una altura de equilibrio, aquella en la que se anula el peso del anillo con la fuerza media que ejerce el campo magnético del solenoide sobre la corriente inducida en el anillo. En esta página, no se va a estudiar la dinámica del anillo, cómo asciende impulsado por la fuerza magnética, incluso a alturas considerables si el anillo se enfría previamente en nitrógeno líquido. Calcularemos la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el anillo cuando está a una altura determinada sobre el solenoide. Esta fuerza se puede medir con un dinamómetro o si le damos la vuelta al dispositivo podemos apoyar el anillo sobre una balanza electrónica, que medirá la suma de su peso más la fuerza que ejerce el campo magnético.

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo F de dicho campo a través del anillo es

F =M·I_s

donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I_s es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma

I_s=I_0s·sen(w t)

Donde I_0s es la amplitud y w frecuencia angular w =2p u . En Europa u =50 Hz y en Estado Unidos u =60 Hz.

Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida Ve en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

La corriente inducida I_a en el anillo de resistencia R es

La resistencia del anillo se calcula mediante la fórmula

Para el anillo de aluminio de las dimensiones señaladas r =2.8·10-8 W ·m, S=(1 mm· 15 mm)=15·10-6 m2, y l=p ·62 mm=p ·62·10-3 m. R=3.63·10-4 W .

Fuerza sobre el anillo

Como podemos observar en el applet que dibuja las líneas del campo magnético producido por un solenoide. El campo magnético es paralelo al eje en el interior del solenoide, pero fuera del solenoide las líneas de campo divergen tal como se observa en la figura El campo magnético del solenoide tiene simetría cilíndrica, y en la posición z que ocupa el anillo de radio a, el campo tiene dos componentes una a lo largo del eje Z, Bz y otra a lo largo de la dirección radial By.

La fuerza magnética sobre el anillo es

En la figura vemos que la fuerza sobre un elemento de corriente dl tiene dos componentes

1. Una a lo largo del eje Z, dF_z=-I_a·B_y·dl¸ (la corriente es positiva cuando circula en el sentido contrario a las agujas del reloj, el opuesto al que se muestra en la figura)
2. Otra a lo largo de la dirección radial, dF_y=-I_a·B_z·dl.

Las componentes radiales se anulan de dos en dos mientras que las componentes a lo largo del eje Z se suman. La fuerza resultante que ejerce el campo magnético B producido por el solenoide sobre la corriente inducida I_a en el anillo tiene la dirección del eje Z y su módulo vale

Como B_y es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sen(w t), y la corriente inducida en el anillo I_a es proporcional –cos(w t). La fuerza sobre el anillo es proporcional a sen(w t)· cos(w t), o bien, F_z=c·sen(2w t)/2.

El valor medio en el tiempo <F_z> de la fuerza sobre la anillo, será por tanto, cero.

Durante medio periodo P=p /w la fuerza es atractiva y durante el otro medio periodo la fuerza es repulsiva. La fuerza neta sobre el anillo es su propio peso, por lo que no es posible que el anillo se eleve, aunque la experiencia nos indique que si lo hace.

Por tanto, la aplicación directa de la ley de Faraday es la condición necesaria pero no suficiente para explicar el fenómeno de la levitación magnética del anillo.

El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna

Para que la fuerza repulsiva sea mayor que la fuerza atractiva tiene que existir un desfase entre la corriente inducida en el anillo y la fem en el mismo.

Supongamos que el anillo es un circuito R-L en serie conectado a una fem alterna de la forma Ve = -V_0e cos(w t).

• La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es V_L=I₀·w L.
• La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R está en fase con la intensidad. La relación de amplitudes es V_R=I₀·R.

Como vemos en la figura la fem Ve , está adelantada un ángulo f  respecto de la intensidad I_a.

Las expresiones de la fem y de la intensidad de la corriente inducida en el anillo en función del tiempo son, respectivamente:

otra forma de expresar la corriente I_a inducida en el anillo es

La fuerza sobre el anillo se obtiene multiplicando el campo magnético B_y proporcional a sen(w t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(w t-f ).

El valor medio de la función f(t)=sen(w t)· cos(w t-f ) es

El primer término, viene de la parte de la corriente en el anillo que está en fase con la fem y por tanto, desfasada 90º con la corriente en el solenoide. Produce una fuerza que oscila con una frecuencia 2w y por tanto, su promedio en el tiempo es cero.

El segundo término, proviene de la parte inductiva de la corriente que tiene un desfase de 90º respecto de la fem, y es la que produce la fuerza de elevación sobre el anillo.

Así pues, para que la fuerza sobre el anillo tenga un valor medio no nulo, tiene que existir un desfase f entre la fem en el anillo y la corriente inducida en el mismo, y este desfase se produce si consideramos que el anillo tiene una autoinducción L no nula.

En el applet se representan tres gráficas

1. En la parte superior, se representa el campo magnético B_y en función del tiempo. B_y es proporcional a la corriente en el solenoide I_s es decir a sen(w t), tal como se ha explicado en el apartado anterior.

2. En la parte media, se representa la fem Ve , que es proporcional a –cos(w t), y la corriente I_a en el anillo desfasada f respecto de la fem.

3. En la parte inferior del applet, se representa el producto del campo magnético B_y proporcional a sen(w t), por la corriente en el anillo proporcional a –cos(w t-f ).

Corriente inducida en el anillo. Ecuación del circuito

Considerando de nuevo el anillo como un circuito formado por una resistencia y una autoinducción conectado a una fem alterna. La ecuación del circuito se escribirá:  suma de fems igual a intensidad por resistencia

La solución de esta ecuación diferencial tiene la siguiente forma

Los dos primeros términos, corresponden a la solución particular, y el tercer término a la solución homogénea de la ecuación diferencial. El término C se halla a partir de las condiciones iniciales, pero no es necesario calcularlo ya que al cabo de muy poco tiempo la exponencial tiende a cero al ser R>>L. En el estado estacionario, solamente nos queda la solución particular I_a=Acos(w t)+ Bsen(w t). Introduciendo la expresión de I_a en la ecuación diferencial obtenemos los valores de A y B.

Fuerza media sobre el anillo.

Como ya se ha explicado, la fuerza sobre el anillo viene dada por la fórmula F_z=-2p a·I_a·B_y.

El campo magnético producido por el solenoide es proporcional a la corriente I_s que circula por él mismo.

B_y=k·I_s.

• Fuerza media <F_z>en fuención de la intensidad que circula por el solenoide  I_s

El valor medio de la fuerza es proporcional al cuadrado de la amplitud de la intensidad que circula por el solenoide I0s,

• Fuerza media <F_z>en fuención de la frecuencia w de la corriente que circula por el solenoide  I_s

Su comportamiento frente a la frecuencia w,. nos fijaremos en el término entre paréntesis.

Cuando la frecuencia de la corriente en el solenoide es pequeña frente a R/L la fuerza <Fz> sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la frecuencia w , e inversamente proporcional al cuadrado de la resistencia R. Cuando la frecuencia w es mucho más grande que R/L, la fuerza <Fz> sobre el anillo tiende hacia un valor constante, e independiente de la resistencia del anillo.

• Fuerza media <F_z>en fuención de la frecuencia de la distancia z entre el solenoide y el anillo

La fuerza media <Fz> disminuye rápidamente con la distancia z entre el solenoide y el anillo.

Actividades

El applet que viene a continuación, calcula la fuerza que ejerce un solenoide de 10 vueltas sobre un anillo situado a una altura regulable z. Para modificar la distancia z, basta arrastrar con el ratón la flecha horizontal de color azul situada en el borde izquierdo del applet.

A partir de las dimensiones del anillo y del material del que está hecho, podríamos calcular su resistencia y autoinducción. Sin embargo, en el programa interactivo introducimos directamente estas dos magnitudes, para poder ensayar todas las posibilidades, un anillo con o sin resistencia, con o sin autoinducción.

Se puede cambiar la intensidad de la corriente en el solenoide, y la frecuencia de la corriente alterna que circula por sus espiras.

El programa calcula y representa la intensidad de la corriente inducida en el anillo y la fuerza sobre el mismo. Permite por tanto, examinar la fuerza magnética sobre el anillo cambiando los distintos parámetros.

El programa permite visualizar, el movimiento de las cargas (en color rojo) en el solenoide y en el anillo, dándonos una idea del sentido de la corriente inducida. Activando la casilla Vectores podemos ver las componentes del campo (en color negro) en la posición que ocupa el anillo y podemos apreciar la magnitud y el sentido de la fuerza sobre el anillo.

En la parte derecha, se representa la corriente en el solenoide (en color azul), en el anillo (en color rojo), y la fuerza sobre el anillo (en color verde) en función del tiempo. Dado que la intensidad de la corriente inducida en el anillo, y la fuerza cambian notablemente a medida que se modifica alguno de los parámetros, se proporciona un control de selección  titulado Escalas para modificar la escala vertical de la representación gráfica.

Experimentos. Representación gráfica

1. Fuerza sobre el anillo en función de la intensidad de la corriente en el solenoide

Podemos comprobar, que la fuerza sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la intensidad de la corriente que circula en el solenoide.

2. Fuerza en función de la frecuencia de la corriente que circula en el solenoide

La frecuencia con la que se realiza el experimento de laboratorio es de 50 Hz, el programa permite variar la frecuencia en un amplio rango de 10 a 150 Hz. Podremos observar que la fuerza crece rápidamente con la frecuencia, y tiende hacia un valor constante cuando la frecuencia se hace grande.

3. La fuerza en función de la distancia entre el anillo y el final del solenoide.

La inducción mutua M disminuye rápidamente cuando se incrementa z, la distancia entre el solenoide y el anillo. La componente Y del campo magnético producido por el solenoide (m ) también disminuye con z.Dado que no podemos proporcionar expresiones simples para la dependencia de estas dos magnitudes con z. El resultado final como podrá comprobar el lector es que la fuerza <F_z> disminuye rápidamente a medida que se incrementa z.

El applet que viene a continuación nos permite representar los resultados de cada una de las experiencias, y observar la dependencia funcional de la fuerza media sobre el anillo con los tres parámetros que hemos mencionado

• Intensidad de la corriente en el solenoide I_s0.
• Frecuencia n de la corriente alterna w =2p n .
• Con la distancia z entre el anillo y el solenoide