Un cohete de dos etapas

Dinámica

Fuerzas o masas
variables

Fórmula de Stokes

Medida de la viscosidad
de un fluido

Descenso de un
paracaidista

Movimiento vertical de
una esfera en un fluido

Movimiento de un sistema
de masa variable

Cohete "perfecto"

Cohete de empuje
constante

Cohete de dos etapas

Movimiento vertical de
un cohete.

Descenso del módulo 
lunar

Reparto óptimo del combustible

Cohete de varias etapas

Por último, veremos también las ventajas que representa un cohete de dos etapas frente a un cohete de las mismas características de una sola etapa, e investigaremos el reparto óptimo de combustible entre las dos etapas para conseguir que la velocidad final sea la máxima posible.

Cohete de dos etapas

El applet que viene a continuación permite estudiar el comportamiento de un cohete de dos etapas.

Se introduce en los controles de edición correspondientes:

• el combustible total en ambas fases,
• el tanto por ciento del combustible total en la primera fase,
• la carga útil que transporta el cohete
• la cantidad D de combustible que se quema por segundo, .

La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa de los recipientes cilíndricos que contienen el combustible. Para calcular esta última cantidad, se ha supuesto que los recipientes metálicos tiene una masa que es el factor r multiplicado por la masa de combustible. Donde r es del orden del 5% ó 0.05.

masa inicial  m₀  =carga útil+(1+r) * combustible total.

La cantidad de combustible en la primera fase c₀ es igual al producto del combustible total, por el tanto por ciento, y dividido por cien.

combustible en la primera fase c₀ =combustible total* tanto por ciento/100;

Una vez que ha transcurrido un tiempo tMax₀ igual al cociente entre el combustible en la primera fase c₀ y la cantidad D que se quema por segundo

tMax₀=m₀/D

se alcanza una velocidad máxima v₁

El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m₀ en una cantidad igual a la suma de la masa del combustible quemado c₀, y la masa del recipiente que lo contiene

masa inicial al encenderse la segunda fase m₁=m₀ -(1+r) * c₀

o bien

masa inicial al encenderse la segunda fase m₁=carga útil+(1+r) * c₁

Siendo c₁ la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del combustible total menos la masa de combustible de la primera fase c₀ ya quemado.

combustible en la segunda fase c₁ =combustible total - combustible en la primera fase c₀

En el instante tMax₁ se agota el combustible de la segunda  fase, y es igual al cociente entre la masa de combustible total y la cantidad D que se quema por segundo

tMax₁=combustible total/D.

Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad máxima v₂, continuando con la misma velocidad en movimiento rectilíneo y uniforme ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.

Actividades

Ahora se tratará de comprobar, que un cohete de dos etapas que transporta la misma cantidad de combustible y la misma carga útil, es más ventajoso que el mismo cohete de una sola etapa.

En segundo lugar, se tratará de investigar la dependencia de la velocidad final del cohete con el reparto de combustible total entre las dos etapas. Manteniendo fijas la cantidad total de combustible y la carga útil, se tratará de modificar el tanto por ciento de combustible en la primera etapa,  c₀/(c₀+c₁) y anotar la velocidad final una vez agotado todo el combustible de la primera y de la segunda etapa. ¿Cuál es aproximadamente la distribución óptima de combustible?, es decir, aquella que da lugar a una mayor velocidad final.

Reparto óptimo del combustible

Diseñaremos un cohete de dos etapas que va a acelerar una carga útil m_u hasta una velocidad v, en el espacio exterior, libre de la acción del campo gravitatorio y de la resistencia del aire.

El cohete lleva un combustible total c₀+c₁ repartido en las dos fases. El recipiente que lo contiene tiene una masa de r veces la masa del combustible. La velocidad de los gases relativo a las toberas es u.

La masa total del cohete será la suma de la carga útil, del combustible y del recipiente que lo contiene.

Una vez consumida la primera fase, la masa del cohete es la suma de la carga útil, el combustible en la segunda fase y el recipiente que lo contiene.

m₁=m_u+(1+r)c₁

Como ya hemos demostrado, la velocidad del cohete al consumirse la primera fase será

Cuando se haya consumido la segunda fase la velocidad final v₂ será

Llamando a f₀=m₁/m₀ y a f₁=m_u/m₁ se obtiene

(1)

         (2)

Tenemos que minimizar el peso total del cohete m₀, para un valor dado de la carga útil m_u y de la velocidad v₂ que queremos alcanzar.

Usando el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange para la ecuación (1) y (2) se obtiene el siguiente resultado

(3)

Teniendo en cuanta este hecho podemos determinar la distribución óptima de combustible en las dos etapas del cohete.

Llamando p a la proporción de combustible en la segunda fase

La igualdad (3) nos conduce a la ecuación de segundo grado en p

Despejamos la raíz positiva de la ecuación.

Ejemplo

Sea un cohete que transporta una carga útil de 800 kg, el combustible total 9000 kg, y el valor de r=0.05 (el depósito una masa del 5% del combustible que contiene).

Primero calculamos k

y luego p=0.22. La máxima velocidad de la carga útil después de haberse consumido el combustible se obtiene para p=0.22, es decir, poniendo el 22% de combustible en la segunda fase y el 78% en la primera fase.

Cohete de varias etapas

El cohete que llevó el primer hombre a la Luna tenía 3 etapas, se podría pensar que este es el número óptimo. Se puede demostrar que a medida que se usan más y más etapas decrece el peso total al despegue. Sin embargo, después de tres etapas las variaciones del peso tienen menos importancia para el diseñador que los problemas que se derivan de la complejidad estructural (control de las vibraciones, etc.).