Dinámica |
Fuerzas o masas variables Fórmula de Stokes Medida de la viscosidad de un fluido Descenso de un paracaidista
Cohete "perfecto" Cohete de empuje constante Cohete de dos etapas Movimiento vertical de un cohete. Descenso del módulo lunar |
Rangos de validez
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| En las páginas anteriores, hemos estudiando el movimiento de caída de un cuerpo bajo la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento en los dos casos en los que es posible obtener expresiones analíticas para la evolución de la velocidad en función del tiempo y de la posición (altura) del móvil en función del tiempo.
Rangos de validezLa fórmula general de la fuerza de rozamiento es
Donde Cd se denomina coeficiente de arrastre, r es la densidad del medio, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es p R2), y v es la velocidad. El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como
donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R), y h es la viscosidad dinámica del medio. Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre Cd se puede escribir.
Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir
Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad. Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<20000, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente constante Cd@ 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale
La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad. Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido r sol), y que se mueve en un medio de densidad r . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s2
Movimiento en el vacío.La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado.
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes
Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla
Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v0.
Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.
Ejemplo Sea un grano de arena de densidad r sol=2670 kg/m3 en el agua r = 1000 kg/m3 y viscosidad h =0.001 kg/m·s. Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v0=0.01 m/s. El valor de G=6.14 m/s2 y el de a =4213 s-1. El número Re se mantiene inferior a 1, Re=0.4 (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes. En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=0.01 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua (en rojo).
Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante. |
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidadEl problema del lanzamiento verticalmente hacia arriba de un objeto tenemos que resolverlo en dos etapas, ya que al ser la fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, no cambia de signo cuando el cuerpo pasa de moverse hacia arriba a moverse hacia abajo.
Ejemplo: Consideremos una pelota de plástico que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0=5 m/s. Supongamos que su masa es de m=78.3 g y su radio de R=15 cm. La densidad del aire es r =1.293 kg/m3 y su viscosidad es h =17.1 10-6 kg/m·s. El valor de G=7.53 m/s2 y el de g =0.176 s/m. El número Re está en el intervalo de validez de la fórmula de la fuerza de rozamiento, salvo cuando se aproxima a la máxima altura, la velocidad es próxima a cero. Ahora bien, en la mayor parte de la trayectoria la velocidad de la pelota es suficientemente alta para que se el número de Reynolds esté dentro del intervalo 1000<Re<20000. En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=5 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo de la pelota en el aire (en rojo).
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Bibliografía
Timmerman, van der Weele. On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys. 67(6) June 1999, pp 538-546
Movimiento vertical de
una esfera en un fluido
