Un cohete de empuje constante

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Dinámica

Fuerzas o masas
variables
Fórmula de Stokes
Medida de la viscosidad
de un fluido
Descenso de un
paracaidista
Movimiento vertical de
una esfera en un fluido
Movimiento de un sistema
de masa variable
Cohete "perfecto"
marca.gif (847 bytes)Cohete de empuje
  constante
Cohete de dos etapas
Movimiento vertical de
un cohete.
Descenso del módulo 
lunar
Ecuación del movimiento

Momento lineal

Energías

java.gif (886 bytes)Actividades

 

Un cohete ordinario funciona a base de reacciones químicas que proporcionan una velocidad constante u de salida de los gases en el sistema de referencia del cohete. Si la cantidad de combustible D que se quema en la unidad de tiempo es constante, entonces el empuje que proporcionan los gases expulsados al cohete es también constante.

En esta página, veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad máxima o el desplazamiento del cohete si dependen de esta cantidad.

Se podrá comprobar, que cuando el cohete agota el combustible, es decir, cuando deja de actuar la fuerza de empuje proporcionada por la expulsión de los gases, no se para, sino que continua con movimiento rectilíneo y uniforme ya que en el espacio exterior suponemos que no actúa ninguna otra fuerza 

 

Ecuación del movimiento

De la ecuación de la dinámica

Si el cohete está en el espacio exterior, F es cero, el momento lineal p permanece constante.

Sea v la velocidad del cohete respecto a la Tierra, y u la velocidad constante de los gases expulsados respecto del cohete; v-u será la velocidad de los gases respecto de la Tierra. Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=dm/dt.

La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.

momento.gif (1933 bytes) Cuando el cohete expulsa una cantidad de combustible dm, incrementa su velocidad en dv, la variación del momento lineal será igual al momento lineal del cohete más el momento lineal de los gases expulsados en el instante t+dt, menos el momento lineal del cohete en el instante t.

dp=(m-dm)(v+dv)+(v-u)dm-mv

Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda

dp=m·dv-u·dm

Si F=0, p=cte y dp=0

Dividiendo por dt

cohete_ext.gif (932 bytes)

La ecuación del movimiento se reduce a otra más sencilla: la masa del cohete por su aceleración es igual a la fuerza de empuje uD.

Despejando dv de la primera expresión

cuya integración entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresión

Donde m0 es la masa inicial y Dt es la cantidad de combustible quemado en el tiempo t, y por tanto, m0 -Dt es la masa del cohete al cabo de un cierto tiempo t.

Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, es necesario integrar la velocidad, resultando la expresión

 

Momento lineal

cohete_1.gif (3568 bytes)

Un cohete con una masa inicial m0  empieza a expulsar los gases con velocidad u relativa al cohete y por consiguiente comienza a moverse en el espacio exterior. Al cabo de un cierto tiempo, alcanza una velocidad v, expulsando los gases con una velocidad u relativa al cohete o con una velocidad v-u relativa al observador terrestre.

El momento lineal del cohete es

El momento lineal de los gases es

cohete_2.gif (2068 bytes)

Como el cohete y los gases forman un sistema aislado el momento lineal del cohete es igual y de sentido contrario al de los gases expulsados desde el instante inicial t=0, al instante t. Como la velocidad de los gases respecto del observador terrestre no es constante es necesario calcular una integral para obtener el momento total de los gases expulsados hasta el instante t, y comprobar de este modo que se cumple el principio de conservación del momento lineal, principio en el que nos hemos basado por otra parte, para obtener la ecuación del movimiento del cohete.

 

Energías

La energía cinética del cohete en el instante t es

La energía cinética de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t es

La energía cinética total del sistema aislado formado por el cohete y los gases en el instante t es

El rendimiento del cohete en el instante t es el cociente entre la energía cinética del cohete y la energía cinética total (cohete más los gases expulsados).

En el applet se muestra el balance energético del cohete. Un círculo muestra la energía total del combustible en el cohete, y como esta energía se va transformando en energía cinética de los gases expulsados y en energía cinética del cohete. Al agotarse todo el combustible, la energía del combustible inicial se ha transformado en energía cinética de la cual solamente se aprovecha la parte que corresponde a la energía cinética del cohete.

Ejemplo:

Introducimos los siguientes datos:

  • Combustible total en el cohete 9000 kg
  • Carga útil que transporta 800 kg
  • Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s

Valores fijos asignados por el programa son:

  • Velocidad inicial de salida de los gases u0=2000 m/s
  • Masa del recipiente que contiene el combustible 5% de la masa del combustible

Masa total del cohete=carga útil+combustible+masa del recipiente

m0=800+9000+0.05·9000=10250 kg

  1. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
  2. Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razón de 1000 kg/s. Luego, el combustible se agota en 9 s.

  3. Velocidad máxima alcanzada por el cohete

  1. Distancia recorrida hasta que se agota el combustible
  2. Energías

La energía total proporcionada por el combustible es

La energía cinética del cohete cuando ha agotado el combustible es

El rendimiento es el cociente entre Ek/Ei=61.5%

 

Actividades

El applet que viene a continuación permite estudiar con detalle el comportamiento de un cohete de una sola etapa.

Se introducen los siguientes datos, en los controles de edición correspondientes.

  • el combustible c,
  • la carga útil que transporta
  • la cantidad D de combustible que se quema por segundo.

La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente cilíndrico que será proporcional a la masa del combustible que contiene

masa inicial  m0  =carga útil+(1+r) * combustible.

donde r es del orden del 5% ó 0.05

El tiempo tMax que tarda en agotarse el combustible es igual al cociente entre la masa de combustible y la cantidad D que se quema por segundo

tMax=c/D

Cuando se agota el combustible c, el cohete sigue con la misma velocidad en movimiento rectilíneo y uniforme, ya que no actúan fuerzas sobre el mismo.

En la simulación el cohete parte con velocidad inicial cero v0=0 y desde el origen x0=0. La velocidad de expulsión de los gases u respecto del cohete se mantiene constante e igual a 2000 m/s.

En la cola del cohete se dibuja una flecha que indica la intensidad de la fuerza de empuje. Como la velocidad de los gasdes es constante (en el sistema de referencia del cohete) el empuje es constante.  Compárese con el cohete "ideal"

Comprobar que el cohete alcanza el mismo valor de la velocidad máxima, independientemente de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo. Mantener constantes la cantidad de de combustible c y la carga útil y variar la cantidad de combustible quemado por segundo. Anotar la velocidades finales vMáx, una vez agotado todo el combustible, el tiempo empleado en alcanzar la velocidad máxima t, y el desplazamiento del cohete x.

Usar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse al instante en el que se acaba el combustible.

D t vMáx x