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Dinámica |
Fuerzas o masas variables Fórmula de Stokes Medida de la viscosidad de un fluido Descenso de un paracaidista Movimiento vertical de una esfera en un fluido Movimiento de un sistema de masa variable Cohete "perfecto"
Cohete de dos etapas Movimiento vertical de un cohete. Descenso del módulo lunar |
Ecuación del movimiento | |||||||||||||||||||||
| Un cohete ordinario funciona a base de reacciones químicas que proporcionan una velocidad constante u de salida de los gases en el sistema de referencia del cohete. Si la cantidad de combustible D que se quema en la unidad de tiempo es constante, entonces el empuje que proporcionan los gases expulsados al cohete es también constante. En esta página, veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad máxima o el desplazamiento del cohete si dependen de esta cantidad. Se podrá comprobar, que cuando el cohete agota el combustible, es decir, cuando deja de actuar la fuerza de empuje proporcionada por la expulsión de los gases, no se para, sino que continua con movimiento rectilíneo y uniforme ya que en el espacio exterior suponemos que no actúa ninguna otra fuerza
Ecuación del movimientoDe la ecuación de la dinámica
Si el cohete está en el espacio exterior, F es cero, el momento lineal p permanece constante. Sea v la velocidad del cohete respecto a la Tierra, y u la velocidad constante de los gases expulsados respecto del cohete; v-u será la velocidad de los gases respecto de la Tierra. Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdrá m=m0-D·t. Donde m0 es la suma de la carga útil más el combustible inicial, y D·t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.
Simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior queda dp=m·dv-u·dm Si F=0, p=cte y dp=0 Dividiendo por dt
La ecuación del movimiento se reduce a otra más sencilla: la masa del cohete por su aceleración es igual a la fuerza de empuje uD. Despejando dv de la primera expresión
cuya integración entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresión
Donde m0 es la masa inicial y Dt es la cantidad de combustible quemado en el tiempo t, y por tanto, m0 -Dt es la masa del cohete al cabo de un cierto tiempo t. Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, es necesario integrar la velocidad, resultando la expresión
Momento lineal
Un cohete con una masa inicial m0 empieza a expulsar los gases con velocidad u relativa al cohete y por consiguiente comienza a moverse en el espacio exterior. Al cabo de un cierto tiempo, alcanza una velocidad v, expulsando los gases con una velocidad u relativa al cohete o con una velocidad v-u relativa al observador terrestre. El momento lineal del cohete es
El momento lineal de los gases es
Como el cohete y los gases forman un sistema aislado el momento lineal del cohete es igual y de sentido contrario al de los gases expulsados desde el instante inicial t=0, al instante t. Como la velocidad de los gases respecto del observador terrestre no es constante es necesario calcular una integral para obtener el momento total de los gases expulsados hasta el instante t, y comprobar de este modo que se cumple el principio de conservación del momento lineal, principio en el que nos hemos basado por otra parte, para obtener la ecuación del movimiento del cohete.
EnergíasLa energía cinética del cohete en el instante t es
La energía cinética de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t es
La energía cinética total del sistema aislado formado por el cohete y los gases en el instante t es
El rendimiento del cohete en el instante t es el cociente entre la energía cinética del cohete y la energía cinética total (cohete más los gases expulsados). En el applet se muestra el balance energético del cohete. Un círculo muestra la energía total del combustible en el cohete, y como esta energía se va transformando en energía cinética de los gases expulsados y en energía cinética del cohete. Al agotarse todo el combustible, la energía del combustible inicial se ha transformado en energía cinética de la cual solamente se aprovecha la parte que corresponde a la energía cinética del cohete. Ejemplo: Introducimos los siguientes datos:
Valores fijos asignados por el programa son:
Masa total del cohete=carga útil+combustible+masa del recipiente m0=800+9000+0.05·9000=10250 kg
Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razón de 1000 kg/s. Luego, el combustible se agota en 9 s.
ActividadesEl applet que viene a continuación permite estudiar con detalle el comportamiento de un cohete de una sola etapa. Se introducen los siguientes datos, en los controles de edición correspondientes.
La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente cilíndrico que será proporcional a la masa del combustible que contiene masa inicial m0 =carga útil+(1+r) * combustible. donde r es del orden del 5% ó 0.05 El tiempo tMax que tarda en agotarse el combustible es igual al cociente entre la masa de combustible y la cantidad D que se quema por segundo tMax=c/D Cuando se agota el combustible c, el cohete sigue con la misma velocidad en movimiento rectilíneo y uniforme, ya que no actúan fuerzas sobre el mismo. 
En la simulación el cohete parte con velocidad inicial cero v0=0 y desde el origen x0=0. La velocidad de expulsión de los gases u respecto del cohete se mantiene constante e igual a 2000 m/s. En la cola del cohete se dibuja una flecha que indica la intensidad de la fuerza de empuje. Como la velocidad de los gasdes es constante (en el sistema de referencia del cohete) el empuje es constante. Compárese con el cohete "ideal" Comprobar que el cohete alcanza el mismo valor de la velocidad máxima, independientemente de la cantidad D de combustible quemado en la unidad de tiempo. Mantener constantes la cantidad de de combustible c y la carga útil y variar la cantidad de combustible quemado por segundo. Anotar la velocidades finales vMáx, una vez agotado todo el combustible, el tiempo empleado en alcanzar la velocidad máxima t, y el desplazamiento del cohete x. Usar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse al instante en el que se acaba el combustible.
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Cohete de empuje
constante
