Electromagnetismo

Campo eléctrico

La ley de Coulomb

El motor de Franklin

Campo y potencial de
una carga puntual

Campo y potencial
de dos cargas

Dipolo eléctrico

Línea de cargas.
Ley de Gauss.

Modelo atómico de
Kelvin-Thomson

La cubeta de Faraday.
Conductores

Generador de
Van de Graaff

Carga inducida en un
  conductor

Esfera conductora en un
campo uniforme

Un péndulo que descarga
un condensador.

Condensador plano-
paralelo

Condensador cilíndrico

Condensador con un
dieléctrico.

Fuerza sobre un 
dieléctrico

Carga y descarga de un
condensador

Medida de la velocidad
de una bala

El método de las imágenes

Carga inducida en el conductor esférico

Actividades

Campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor

Ya hemos visto que una propiedad importante de los conductores es que el campo en el interior de un conductor es cero, E=0, y las consecuencias que se derivan de ello. Mediante programas interactivos hemos visto como funciona la cubeta de Faraday o el generador de Van de Graaff

Vamos a ver en esta página otra propiedad importante de los conductores que se refiere al módulo y dirección del campo eléctrico en las proximidades de la superficie del conductor.

Vamos a demostrar que la dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie.

Como el campo eléctrico es conservativo se deberá cumplir que la circulación del campo eléctrico E es cero en un camino cerrado.

Consideremos el camino cerrado ABCD y supongamos que los puntos A y D, están muy próximos entre sí en el interior y en el exterior del conductor, respectivamente. Supongamos que B y C están también muy próximos entre sí. El tramo AB es paralelo a la superficie

La circulación del campo eléctrico es la suma de cuatro contribuciones, en el tramo CD es nula, por ser el campo en el interior de un conductor cero. Las contribuciones en los lados AD y BC son aproximadamente cero. La contribución en el lado AB deberá ser por tanto cero para que la suma total sea cero. Esto solamente es posible si el campo E es perpendicular a la a la superficie del conductor,es decir, forma 90º con el camino AB.

Una consecuencia de que el campo eléctrico sea conservativo, es que la dirección del campo eléctrico en las proximidades de un conductor es perpendicular a la superficie del mismo.

El teorema de Gauss nos permite calcular el módulo del campo eléctrico en la superficie de un conductor cuando conocemos la distribución de carga en el mismo. El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

1.-Determinar la dirección del campo eléctrico.

Como hemos demostrado, la dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie.

2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomemos como superficie cerrada un cilindro, cuya generatriz es perpendicular a la superficie del conductor. El flujo del campo eléctrico producido por la distribución de carga de s C/m² en la superficie del conductor consta de tres términos.

• Flujo a través de la superficie lateral. Dado que el campo E es perpendicular al vector dS.

• El flujo del campo eléctrico en la base inferior. Dado que E=0 en el interior del conductor, el flujo a través de esta superficie es cero.

• El flujo a través de la base superior. El campo y el vector superficie son paralelos.

• El flujo total a través de la superficie cilíndrica es

Siendo S el área de la base del cilindro.

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La superficie cilíndrica corta la superficie del conductor delimitando un área S, que contiene una carga q=s S

4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

El teorema de Gauss nos dice cómo es el campo en las proximidades de un conductor cuando conocemos como se distribuye la carga en su superficie. La situación inversa es la de preguntarnos como se distribuye la carga en un conductor cuando sobre él actúa un determinado campo.

La carga imagen

Supongamos un sistema formado por una carga puntual Q en las proximidades de una esfera conductora a potencial cero a una distancia d de su centro. El método de las imágenes nos permite sustituir el conductor por una carga "imagen" q que anulará el potencial sobre la superficie esférica de radio R.

El potencial en el punto P₁ de la superficie esférica deberá ser cero

El potencial en el punto P₃ diametralmente opuesto deberá ser cero.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que despejamos q y b.

Podemos demostrar haciendo algunas operaciones que estos valores de q y b hacen que el potencial en cualquier punto P₂ de la superficie esférica, es también cero.

El potencial

Vamos a calcular el campo en cualquier punto P exterior a la esfera conductora. Primero calculamos el potencial

Se expresa r1 y r2 en coordenadas polares en función de la distancia radial r y del ángulo q , es decir, de las coordenadas polares del punto P. De este modo Ves una función de r y q .

Componente radial del campo

Para calcular el vector campo E se halla el gradiente del potencial cambiado de signo. Busquemos el valor de la componente radial del campo

La carga inducida en el conductor esférico

Según hemos mencionado el campo en las proximidades de una superficie conductora es perpendicular a dicha superficie luego, el campo en la superficie esférica conductora es radial. Calculamos E_r para r=R y a continuación la densidad superficial de carga inducida en la esfera teniendo en cuenta la expresión calculada para el campo en las proximidades de la superficie de un conductor s =e ₀E_r

Evidentemente, si integramos esta densidad de carga sobre la superficie de la esfera, obtenemos la carga total inducida q. La carga total inducida sobre la esfera conductora es igual a la carga imagen que sustituye a la esfera.

Este resultado es consecuencia de la ley de Gauss: si dibujamos una superficie cerrada que abarque a la esfera pero que esté muy próxima a ésta, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie y por tanto, la carga en el interior de dicha superficie cerrada debe ser la misma, independientemente de que esté sobre la esfera conductora o haya sido sustituida por la carga imagen.

Este applet muestra las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales de un sistema formado por una carga puntual y una esfera conductora. Podemos cambiar el valor de la carga puntual, y también la distancia d de separación entre la carga puntual y el centro de la esfera. El radio de la esfera se ha fijado en la unidad.

La esfera conductora a potencial cero se sustituye por una carga imagen que aparece como un pequeño círculo de color azul. Observar que la carga imagen es negativa (color azul) si la carga puntual es positiva (color rojo). La carga imagen disminuye con la separación d, y aumenta con la carga puntual Q.

Observar que las líneas de fuerza que llegan al conductor esférico son perpendiculares a su superficie.

Se han trazado las líneas equipotenciales a la izquierda del applet separadas 0.1 unidades. Sin embargo, la diferencia de potencial entre dos líneas equipotenciales de la derecha del applet es de 0.01 unidades arbitrarias.

Activando la casilla de titulada carga inducida desaparece la carga imagen y aparece una distribución de carga sobre la superficie de la esfera conductora en forma de pequeños puntos de color azul que pretenden darnos una descripción cualitativa de la dependencia de la densidad de carga s con el ángulo q .

Podemos observar que la densidad de carga es más intensa en la parte de la esfera que está más cerca de la carga puntual positiva y es muy pequeña, en la parte opuesta, más alejada.

Podemos calcular la fuerza de atracción entre la carga puntual positiva y la esfera, aplicando la ley de Coulomb a la carga puntual Q y a la carga imagen q, separadas una distancia d-b.