Dinámica |
Dinámica de la partícula El rozamiento por deslizamiento Medida del coeficiente dinámico Medida del coeficiente estático Movimiento circular (I) Movimiento circular (II) Trabajo y energía Conservación de la energía (cúpula)
El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) Trabajo y energía (el bucle) |
Fundamentos físicos | |
| En esta página estudiamos el comportamiento del péndulo simple
Fundamentos físicosUn péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
Oscilaciones de pequeña amplitudCuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es q =q0·sen(w t+j ) de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo
ActividadesLas actividadas propuestas van a consistir en la medida de la aceleración de la gravedad en la superficie de un cuerpo celeste . La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r. La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste. En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes. Ejemplo: Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es
Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo. En el applet se selecciona un cuerpo celeste de la lista de cuerpos celestes. Se mide el tiempo de cinco oscilaciones con el cronómetro dispuesto al efecto. Se cambia la longitud del péndulo y se realiza una nueva medida y así sucesivamente. En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se recoge los datos "experimentales", longitud del péndulo (en m) periodo (de una oscilación en s). Cuando se tienen suficientes datos recolectados se pulsa el botón titulado Gráfica. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:
El programa interactivo calcula y representa la recta que mejor ajusta a los datos experimentales por el procedimiento denominado regresión lineal. La pendiente a de la recta es una medida de la inversa de la aceleración de la gravedad, g=1/a
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Oscilaciones de cualquier amplitudVamos a comprobar que el péndulo simple se comporta aproximadamente como un oscilador armónico solamente cuando la amplitud es pequeña, cuando es válida la aproximación senq » q .
Principio de conservación de la energía
Expresando la velocidad v como producto de la velocidad angular w por el radio l del arco de la circunferencia que describe.
Integrando obtenemos el periodo P de la oscilación
El factor 4 se debe a que el tiempo que tarda el péndulo en desplazarse desde la posición inicial q0 a la de equilibrio 0 es el mismo que de 0 a -q0, ó que de q0 a 0 ó finalmente, de 0 a q0, completándose así una oscilación. Esta integral elíptica se puede aproximar por el siguiente desarrollo en serie
Los tres primeros términos ajustan bien con los resultados experimentales para ángulos menores q0<50º. Para otros ángulos, se puede realizar una integración numérica por los métodos como el trapecio o mejor por el método de Simpson. Para simular el movimiento del péndulo para cualquier amplitud, se ha resuelto la ecuación diferencial de su movimiento (1), aplicando el procedimiento numérico de Runge-Kutta.
ActividadesEl péndulo del programa interactivo tiene una longitud fija de 70 cm por lo que el periodo de las pequeñas oscilaciones es de P0=1.68 s. Se elige la amplitud de las oscilación, el ángulo en grados. Se mide con el cronómetro el tiempo de cinco oscilaciones. En el control área de texto, se recogen los datos "experimentales" amplitud en grados, periodo de cinco oscilaciones en segundos. El periodo P medido para cada oscilación tendrá que se mayor que P0. Cuando se han recolectado suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Y se representan, en un sistema de ejes: periodo en el eje vertical, y amplitud en el eje horizontal:
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El péndulo simple
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