Movimiento ondulatorio

Acústica

Ondas estacionarias
en tubos

Velocidad del sonido
en una barra

Velocidad del sonido
  en un gas

El resonador de
Helmholtz

Análisis de Fourier

Efecto Doppler

Variación de la velocidad del sonido con la temperatura

Actividades

Velocidad del sonido en un gas

El razonamiento que se sigue para deducir la fórmula de la velocidad del propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una barra elástica, pero con una diferencia importante. Los gases son muy comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión.

Consideremos de nuevo las dos partes del problema la deformación del elemento que estaba inicialmente en la posición x, y su desplazamiento Y .

Deformación del elemento

La masa de gas contenida en el volumen del elemento, es la misma antes y después de la deformación

Si r₀ es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es

Hemos de tener en cuenta a efectos de notación (derivada parcial) que Y es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo), y que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequeño por lo que podemos aproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton.

Ecuación de estado

La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p₀ es muy pequeña podemos hacer aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado

Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. Sin embargo, la temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. La energía sin embargo, se conserva, a lo largo de la columna de gas.

En lugar de una transformación isoterma como supuso Newton, es necesario emplear una transformación adiabática. No hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente.

La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

Desplazamiento del elemento

La diferencia de presión p-p₀ a ambos lados del elemento situado en la posición x, vale

La fuerza que hace que el elemento se desplace es dF=Sdp

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa (densidad por volumen) por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Se puede demostrar que la presión p y la densidad r obedecen a la misma ecuación diferencial que el desplazamiento Y , con la misma velocidad de propagación v.

La fórmula de la velocidad de propagación es

g es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire) y r₀ es la densidad (1.293 kg/m³), y p₀ la presión normal (1 atm=1.013·10⁵ Pa)

Se obtiene para la velocidad de propagación del sonido en el aire v=331 m/s.

Variación de la velocidad del sonido con la temperatura

La velocidad del sonido en un gas no es constante, sino que depende de la temperatura.

De la ecuación de un gas ideal pV=nRT, o bien

M es el peso molecular del gas que contiene el tubo (aire). M=28,9 g/mol, g =1.4 y R=8.314 J/(ºK mol)

La fórmula de la velocidad del sonido queda finalmente en función de la temperatura t del gas en grados centígrados.

Fuente: Manual de Física. Koshkin y Shirkévich. Editorial Mir, pág 107

Actividades

Mediante este applet vamos a simular un experimento simple de medida de la velocidad del sonido en el aire.

Un diapasón es una varilla metálica en forma de U. El sonido emitido por el diapasón contiene una sola frecuencia que viene grabada en este dispositivo. Conocida la frecuencia del diapasón se puede determinar la velocidad de propagación del sonido en el aire, mediante el dispositivo esquematizado en la figura. Disponemos de un recipiente de agua cuyo nivel podemos graduar. Situamos el diapasón muy cerca del recipiente y lo hacemos vibrar. Hacemos descender el nivel del agua hasta que se perciba resonancia, es decir, una mayor intensidad del sonido en el recipiente. Medimos la longitud L de la parte vacía y con estos datos se puede calcular la velocidad de propagación del sonido en el aire. Las frecuencias de los distintos modos de vibración de un tubo cerrado responden a la fórmula

Ejemplo

Se ha seleccionado un diapasón que emite en la frecuencia de n =440 Hz. A continuación se pulsa el botón titulado Nuevo. Cuando se ha vaciado el recipiente hasta el nivel que marca L=58 cm, se observa el segundo modo de vibración n=1. Introducimos los datos en la fórmula y despejamos la velocidad del sonido v_s.

A partir de la medida de la velocidad del sonido en el aire, podemos determinar su índice adiabático g .