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Análisis de Fourier Efecto Doppler |
Fundamentos físicos | |||
| En esta página, se describe un experimento de medida de la velocidad del sonido mediante un resonador de Helmholtz. Su frecuencia de resonancia depende de las dimensiones de la cavidad y de la velocidad de propagación del sonido.
Fundamentos físicosUn resonador ideal de consiste en una cavidad de volumen V con un cuello de área S y de longitud L. Si la longitud de onda l es mucho más grande que las dimensiones L, S1/2 y V1/3 el aire del cuello se mueve como una masa sólida.
La deducción de la frecuencia de oscilación es similar a la empleada para calcular la frecuencia de las oscilaciones de la esfera en el experimento de la medida del índice adiabático de un gas ideal.
Transformación adiabáticaLos cambios de presión y de volumen del gas que tienen lugar se describen mediante un proceso termodinámico. Si suponemos que la oscilación transcurre muy rápidamente podemos considerar que el proceso es adiabático. La relación entre la presión y el volumen del gas en dicho proceso viene dada por la ecuación.
donde V es el volumen del gas, p la presión y g el índice adiabático del gas. Cuando la partícula se ha desplazado x de la posición de equilibrio, el volumen se ha reducido en V0-Sx y la presión a cambiado a p de modo que
Despejando p
Dado que S·x<< V0. Empleando el desarrollo de Newton (a+b)n hasta el primer término
Oscilaciones armónicasEn la figura vemos que cuando la masa m de aire (en color azul) se desplaza hacia la derecha, la presión aumenta, la fuerza sobre la partícula está dirigida hacia la izquierda. Cuando la masa m se desplaza hacia la izquierda la presión disminuye, la fuerza sobre la partícula es hacia la derecha. Por tanto, la fuerza sobre la partícula es de sentido contrario al desplazamiento, una de las características del M.A.S. La segunda ley de Newton en forma diferencial se escribe
Ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia y periodo
Teniendo en cuenta que la velocidad del sonido en un gas de presión p0 y densidad r0 es
y que la partícula de masa m es aquí el aire contenido en el cuello de la botella m=r0·SL Obtenemos la expresión de la frecuencia angular w0 de las oscilaciones de dicha masa de aire
La fórmula que es aplicable experimentalmente es
Donde Le=L+D L es la longitud efectiva del cuello. La longitud efectiva es la longitud real L del cuello más alrededor de 0.7 de radio del cuello r a cada lado, es decir, Le=L+1.4·r, este factor puede variar de 1.3 a 1.7. En la experiencia simulada, no tendremos en cuenta esta corrección y usaremos la expresión de w0 para el resonador ideal.
Dispositivo experimental
En la figura se dibuja el esquema del dispositivo experimental descrito en el artículo Tang S. H., Tan H.S., Tan K. L. Hsu T.S. Velocity of sound and resonce absorption determination from a low-cost Helmholtz experiment. Eur. J. Phys. (6) 1985, pp.134-138 Un tubo de acero de 1.5 m de longitud y St=48 cm2 sección tiene en un extremo un altavoz, y hacia la mitad del tubo se dispone un micrófono a la derecha del cual se rellena el tubo con fibra de vidrio para amortiguar el sonido. El resonador es un recipiente cilíndrico de V0=339.0 cm3 de volumen, tiene la característica de que se le pueden acoplar cuellos de distinta longitud L. La sección S del cuello es de 4.9 cm2. El altavoz está conectado a un generador que produce ondas senoidales de frecuencias comprendidas entre 100 y 700 Hz. Se mide la señal recogida por el micrófono mediante un voltímetro. Para este dispositivo la curva de resonancia de la intensidad del sonido I tiene forma Lorentziana, y está dada por
donde St es la sección del tubo.
ActividadesEl applet simula las características esenciales de este experimento. Cambiando la longitud del cuello L del resonador se mide la frecuencia de resonancia w0. Se introduce la longitud del cuello L en el intervalo comprendido entre 1.5 y 4.5 cm, a continuación se pulsa el botón titulado Empieza. El generador hace un barrido de frecuencias entre 100 y 600 Hz, y se recoge la respuesta del micrófono, trazándose la curva de resonancia de la intensidad I del sonido. Se sitúa el puntero del ratón en la frecuencia que señala el mínimo de intensidad y se pulsa el botón izquierdo del ratón. En el área de texto situado a la izquierda del applet se guardan los resultados experimentales (longitud del cuello L, frecuencia de resonancia u0) Cuando tengamos suficientes datos, se pulsa el botón titulado Gráfica, y se representa los datos experimentales y la recta que mejor ajusta a dichos datos. El programa interactivo calcula el valor de la pendiente de dicha recta. Conocida la pendiente podemos determinar la velocidad del sonido mediante la fórmula
La gráfica representa en el eje vertical la frecuencia en Hz, y en el eje horizontal la inversa de la raíz cuadrada de la longitud del cuello expresada en cm-1/2. Ejemplo. Supongamos que hemos realizado un experiencia y la pendiente de la recta de ajuste nos ha dado 666.48 determinar la velocidad del sonido
Una vez obtenida la velocidad de propagación del sonido, se podría estimar la densidad del aire a partir de la fórmula de la velocidad de propagación del sonido en un gas
siendo p0=101300 Pa la presión atmosférica, y g =1.4 el índice adiabático. En el capítulo de Termodinámica se describen dos experiencias para realizar esta medida: |
Situar el puntero del ratón en la frecuencia que señala el mínimo de intensidad y pulsar el botón izquierdo del ratón.
El resonador de
Helmholtz
