Coeficiente de restitución

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Cinemática

Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Movimiento bajo la 
aceleración constante
de la gravedad
Composición de
movimientos
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión

Física en el juego
del baloncesto
Prescindiendo del tablero
Efecto del tablero.
marca.gif (847 bytes)Coeficiente de restitución
Dispersión del balón 
por el aro

Movimiento relativo de
rotación uniforme
Aceleración centrífuga
y de Coriolis
java.gif (886 bytes) Un modelo para el coeficiente de restitución

java.gif (886 bytes) Sucesivos rebotes de un balón

 

Un modelo para el coeficiente de restitución.

En este apartado se describe el impacto del balón sobre una pared rígida mediante un modelo mecánico simple.

Cuando el balón impacta sobre una pared rígida, supondremos que sobre el c.m. del balón actúan dos fuerzas :

  • Una fuerza elástica proporcional al desplazamiento del c.m. de módulo kx, que tiende a restaurar al c.m. a su posición de equilibrio.
  • Una fuerza de rozamiento lv, proporcional a la velocidad del c.m. y que da cuenta de la pérdida de energía del balón durante el impacto.

La ecuación del movimiento del c.m., es

o bien    

Esta es la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, donde w02=k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y g =l/(2m) es la constante de amortiguamiento.

Existen tres posibles soluciones de la ecuación diferencial, de acuerdo con las raíces de la ecuación característica.

 

Oscilaciones amortiguadas (g<w0)

Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A y de la fase inicial f. En nuestro caso son: t=0, x=0, y v=v0.

Esta ecuación nos da la posición del c.m. del balón deformado en función del tiempo.

La figura nos muestra la representación gráfica de dicha función. Después de haber completado un semiperiodo de oscilación P/2=p/w, (línea sólida de color azul) el c.m. del balón se aleja de la pared con una velocidad v dada por

Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v0 justamente antes del choque con la pared.

Podemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilación amortiguada y la constante de amortiguamiento.

Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, g=0, no hay rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no hay pérdidas de energía, el choque es perfectamente elástico, y e=1.

 

Oscilación crítica (g=w0)

La solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas: t=0, x=0, v=v0. se transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.

 

Oscilación sobreamortiguada (g>w0)

La solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas se transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida después de un tiempo teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, el coeficiente de restitución es cero, e=0.

 

Actividades

  1. Fijaremos la frecuencia propia w0 en el valor 100, permitiéndonos variar, la constante de amortiguamiento g en el intervalo de 0 (choques elásticos) a 150.
  2. En primer lugar, examinaremos los choques que dan lugar a rebote (oscilaciones amortiguadas).
  3. Introduzcamos la constante de amortiguamiento (menor que 100, del orden de 10).
  4. Introducimos la velocidad inicial (entre 1 y 10).
  5. Anotamos el valor de la velocidad final después del rebote.
  6. Ensayamos otras situaciones, cambiando la velocidad inicial pero sin modificar la constante de amortiguamiento.
  7. Observamos la deformación del balón en el caso que corresponde a oscilación crítica (g=100),
  8. y otro que corresponda a una oscilación sobreamortiguada (g>100).
RestitucionApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Sucesivos rebotes de un balón

Podemos observar los sucesivos rebotes del balón sobre un suelo rígido horizontal. Como ya se explicó en el efecto del tablero sobre los tiros a canasta, la componente horizontal de la velocidad no se modifica, la componente vertical de la velocidad disminuye tras cada choque del balón con el suelo rígido horizontal.

Balon7.gif (2174 bytes)

 

Actividades

  1. Determinar la ley de la variación de la altura máxima del balón con el coeficiente de restitución. En la parte superior derecha de la ventana, se proporciona el dato de la altura de la pelota en cada instante t (en la parte izquierda).
  1. Para cada coeficiente de restitución que introducimos, medir el tiempo que tarda el balón en dejar de rebotar, es decir, que su altura sea casi cero.
RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.