FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS NATURALES Y AGRIMENSURA
ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

PROGRAMA ANALITICO

Unidad 1. Nociones de Lógica Proposicional

Lógica Proposicional. Proposiciones. Principios de la Lógica. Conectivos. Operaciones Proposicionales. Tablas de verdad. Proposiciones Equivalentes. Negación, conjunción, disyunción, implicación, doble implicación, diferencia simétrica. Fórmulas Proposicionales. Circuitos lógicos. Tautologías. Contradicciones. Contingencias. Métodos de demostración.

Unidad 2. Elementos de Teoría de Conjuntos. Conjuntos Numéricos.

Breve revisión de la Teoría de Conjuntos. Cardinal. Operaciones. Propiedades. Diagramas de Venn. Principio de inclusión y exclusión. Conjuntos Numéricos. Los números reales. Intervalos reales. Valor Absoluto de un real. Los números naturales, enteros, racionales, irracionales. Los números complejos. Forma de par ordenado, binómica, trigonométrica y exponencial de un complejo. Operaciones. Complejos conjugados. Módulo de un complejo. Formas. Operaciones.

Unidad 3. Análisis Combinatorio

Combinatoria. Definición. Principios Generales de la Multiplicación y de la Suma. Factorial de un entero no negativo. Permutaciones, Arreglos, Combinaciones simples y con elementos repetidos. Número combinatorio. Propiedades. Fórmula del Binomio de Newton.

Unidad 4. Relaciones y Funciones

Par Ordenado. Producto Cartesiano. Relaciones. Definición. Composición. Relación inversa. Funciones. Definición. Clasificación. Composición. Función inversa. Ecuación.

Unidad 5. Polinomios a una indeterminada. Funciones y Ecuaciones Polinómicas.

Polinomios. Definición. Operaciones con polinomios. Especialización. Funciones Polinómicas. Análisis. Gráficas. Ecuaciones polinómicas particulares. Raíces. Enunciado del Teorema Fundamental del Álgebra. Teorema de Gauss. Teorema fundamental de la descomposición factorial. Raíces múltiples. Raíces complejas de polinomios reales. Consecuencia. Relaciones entre coeficientes y raíces. Solución nomográfica de sistemas.

Unidad 6. Funciones y Ecuaciones no Polinómicas

Funciones particulares, valor absoluto, signo, parte entera. Funciones escalonadas. Funciones y ecuaciones irracionales. Funciones y ecuaciones exponenciales. Funciones y ecuaciones logarítmicas. Funciones y ecuaciones trigonométricas.

Unidad 7. Nociones de Álgebra Lineal.

Espacio Vectorial. Definición. Propiedades. Vectores en Rⁿ. Igualdad y norma en Rⁿ. Combinaciones lineales de vectores. Dependencia e Independencia lineal. Base de un espacio vectorial. Versores. Bases canónicas. Coordenadas. Dimensión. Álgebra vectorial. Producto escalar. Producto vectorial. Producto mixto. Ángulos y cosenos directores en R² y R³. Vectores paralelos en R² y R³ .

Unidad 8. Nociones de Geometría Analítica.

Sistema de coordenadas en el plano R². La recta en el plano y la ecuación general de primer grado a dos variables. Formas implícita y explícita. Pendiente y ordenada al origen. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Ecuación de la recta dada la pendiente y un punto. Haz de rectas por un punto. Ecuación de la recta dados dos puntos. Distancia entre dos puntos. Ángulo de dos rectas. Cónicas y la ecuación general de segundo grado a dos variables. Circunferencia, Elipse, Hipérbola y Parábola. Sistema de coordenadas en el espacio R³. Ecuación de la recta en el espacio R³. Ecuación del plano en R³ Superficies cilíndricas circulares, parabólicas e hiperbólicas. Superficies Cuádricas esféricas, elipsoides, hiperboloides y paraboloides.

Unidad 9. Matrices y Determinantes

Las matrices como conjuntos ordenados de vectores de Rⁿ. Suma de matrices, producto por un escalar. El Espacio Vectorial de las matrices R^mxn. Rango de una matriz. Operaciones elementales de fila y columna. Matrices equivalentes. Forma escalonada. Matriz traspuesta. Matrices cuadradas particulares. Producto escalar de un vector fila por un vector columna. Producto de matrices. Álgebra de matrices cuadradas. Determinante de una matriz cuadrada por el desarrollo de los elementos de la primera columna. Adjunto y menor complementario. Propiedades. Métodos de cálculo. Matriz Adjunta. Matrices inversibles. Cálculo de la inversa por operaciones de filas y por la adjunta.

Unidad 10. Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones Lineales

Ecuaciones e inecuaciones lineales. Sistemas. Conjunto solución. Sistemas equivalentes. Expresión matricial. Resolución por operaciones sobre las ecuaciones. Teorema de Rouché-Frobenius. Consecuencias. Sistemas homogéneos. Clasificación de sistemas. Sistemas cuadrados. Teorema de Cramer. Regla de Cramer.