Electromagnetismo

Movimiento de las
partículas  cargadas 

Fuerzas sobre las
cargas

Atomo de Bohr

El osciloscopio

Separación de
semillas

Motor iónico

Acelerador lineal

Medida de la relación
carga/masa

Medida de la unidad
fundamental de carga

El espectrómetro
de masas

El ciclotrón

Campos eléctrico y
  magnético cruzados

Actividades

En esta página vamos a estudiar el movimiento de una partícula de masa m, de carga q, inicialmente en reposo, sometida a la acción de un campo eléctrico E, y de un campo magnético B, ambos uniformes y perpendiculares entre sí.

Descripción

Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje X, el campo eléctrico E la dirección del eje Y. Y el vector velocidad v está en el plano YZ, y sean las componentes de la velocidad inicial son v0y, v0z La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es Fe=q·E. La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es Fm=q·v´B

La ecuación del movimiento de la partícula es

Las componentes de los vectores son

B (B, 0, 0)

E (0, E, 0)

v (0, v_0y, v_0z,)

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

(1)

Se denomina frecuencia de giro w es el cociente w =qB/m. Que como hemos visto es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.

Derivando las ecuaciones (1) respecto al tiempo convertimos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, en dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

La solución de la primera ecuación es la misma que la de un Movimiento Armónico Simple de frecuencia w . La segunda ecuación diferencial tiene una solución similar, pero además tiene un término adicional en el segundo miembro por lo que hay que sumar a la solución general una particular. Se puede comprobar que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son

donde C₁, C₂, D₁ y D₂ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Supongamos que en el instante t=0, las velocidades iniciales son v_0y y v_0z.

Las expresiones de v_y y v_z quedarán como sigue

Como caso particular interesante, es aquél en el que v_0y=0. Para que la partícula no se desvíe (su trayectoria sea el eje Z) la velocidad inicial v_0z tiene que tener el valor v_0z=-E/B (cociente entre el campo magnético y el campo eléctrico). Este es el fundamento de un selector de velocidades.

Podemos integrar v_y y v_z respecto del tiempo, teniendo en cuenta que la partícula parte del origen y=0, z=0 en el instante inicial t=0.

Movimiento relativo

Sea un sistema referencial R’ que se mueve con un movimiento de traslación rectilínea y uniforme con velocidad V. La relación entre la velocidad de la partícula cargada v en el sistema R y la velocidad v’ en el sistema R’ es .

La ecuación del movimiento de la partícula en el sistema R’ será

Siempre es posible elegir V de modo que

la velocidad V se denomina velocidad de deriva V=E/B. La partícula en el sistema R’ describe un movimiento circular, bajo la única acción de la fuerza que ejerce el campo magnético.

Sea una partícula cargada que se mueve en una región donde hay campos magnéticos cruzados. Si la partícula parte del reposo en el origen, el campo magnético no actuará sobre la partícula, resultará acelerada en la dirección del campo eléctrico. Cuando empieza a ganar velocidad empieza a actuar la fuerza que ejerce el campo magnético curvando la trayectoria de la partícula.

Como hemos visto la trayectoria de la partícula es la composición de dos movimientos uno de traslación del sistema R’ respecto de R y otro de rotación en el sistema R’, la velocidad de traslación se denomina velocidad de deriva. Este tipo de movimiento ha sido analizado en la discusión del movimiento general de un sólido rígido. Cuando existe una relación entre la traslación y la rotación ½V½ =r½ w ½ la trayectoria de la partícula será una cicloide.

La velocidad de deriva V no depende de la carga de las partículas, por lo que los electrones derivan en la misma dirección que los iones positivos. Pero el movimiento de giro w de los electrones es opuesto al de las cargas positivas.

Ejemplos

Si v_0y=0 y v_0z=E/B la partícula se mueve a lo largo del eje Z sin desviarse. Hemos utilizado este resultado en la "experiencia" de Thomson para medir la velocidad del haz de electrones. Un selector de velocidades consta de un campo eléctrico y un campo magnético cruzados.

Pruébese los siguientes ejemplos con E/B=0.1 y w =2.

• v_0y=0.0, v_0z=-0.1
• v_0y=0.1, v_0z=-0.1
• v_0y=0.2, v_0z=-0.1

Actividades

Se introduce los siguientes datos en los respectivos controles de edición:

• La relación entre el campo eléctrico y el magnético E/B
• La frecuencia angular w
• La componente horizontal de la velocidad inicial v_0y
• La componente vertical de la velocidad inicial v_0z

Observar el movimiento de la partícula cargada