UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS NATURALES Y AGRIMENSURA

CÁTEDRA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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Tema 1	ESPACIOS: Espacios de "n" dimensiones. Espacio afín. Espacios métricos. Espacio Euclidiano. ENTORNOS, entornos reducidos. Clasificación de puntos: aislados, de acumulación, interiores, exteriores, frontera. Contorno y frontera. CURVAS Y SUPERFICIES: Métodos de definición de curvas y superficies, familias de curvas y superficies.  FUNCIONES: El concepto de función, dominio y rango de una función, funciones de dos y de "n" variables independientes. Representación gráfica. Escala funcional. Curvas de nivel. Superficie de nivel.
Tema 2	LIMITES: Limites de funciones de dos variables independientes. Limite doble y limites iterados. Relación entre los mismos. Generalización para  funciones de "n" variables. CONTINUIDAD: Continuidad de funciones de dos variables independientes. Continuidad de funciones de "n" variables independientes. Continuidad  uniforme. INFINITÉSIMOS: Comparación de funciones. Infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Infinitésimos de comparación.
Tema 3	DERIVABILIDAD: Derivada de una función de dos variables independientes. Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Derivadas parciales de funciones de n variables independientes. Relación entre la derivabilidad y la continuidad. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwartz. DIFERENCIABILIDAD: Diferenciabilidad de funciones de dos variables independientes. Diferencial total. Diferenciales parciales. Diferencial de una función de "n" variables independientes. Relación entre la diferenciabilidad, la derivabilidad y la continuidad. Diferenciales de orden superior. El operador diferenciación y su potencia simbólica. Derivada direccional. Interpretación geométrica de la diferencial total. Plano tangente.
Tema  4	FUNCIONES COMPUESTAS: Funciones compuestas de dos variables independientes y de "n" variables independientes. Derivabilidad de las funciones compuestas. Diferenciabilidad de las funciones compuestas. Derivadas de orden superior de funciones compuestas. Diferenciales de orden superior de funciones compuestas.
Tema 5	TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Teorema del valor medio para funciones de dos variables independientes y para funciones de "n" variables independientes. FORMULAS DE MAC LAURIN Y TAYLOR: Fórmulas de Mac Laurin y Taylor para funciones de una variable independiente. Expresión de Lagrange del termino complementario. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos y "n" variables independientes. Expresión del termino complementario.
Tema 6	FUNCIONES IMPLÍCITAS: Funciones implícitas de una variable independiente. Discusión geométrica de su existencia. Teorema de existencia, unicidad, continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones implícitas de una y "n" variables independientes. Derivadas y diferenciales sucesivas de una función implícita. SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS: Jacobiano. Sistema de dos funciones implícitas. Teorema de existencia, unicidad, continuidad y derivabilidad. Sistema de "n" funciones implícitas. Teorema de existencia, unicidad, continuidad y derivabilidad. FUNCIONES INVERSAS: Inversión de una transformación. Transformación de coordenadas en el plano y en el espacio. Generalización. Jacobiano de un producto de transformaciones. Jacobiano de la transformación inversa.
Tema 7	FORMAS Cuadráticas: forma cuadrática sobre el Rn, formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas. Teoremas relativos. EXTREMOS LIBRES Y LIGADOS: Extremos libres de funciones de dos variables independientes. Condiciones necesarias de existencia. Puntos estacionarios. Condiciones suficientes. Extremos libres de funciones de "n" variables. Condiciones necesarias y condiciones suficientes de existencia. Caso en que se anulan las derivadas hasta cierto orden. Extremos ligados. Métodos de los multiplicadores de Lagrange.
Tema 8	INTEGRALES MÚLTIPLES: Integral doble. Región de integración. Norma. Definición de integral doble. Propiedades de la integral doble. Calculo de integrales dobles. Integrales iteradas. La integral triple. Calculo de integrales triples. Generalización. Cambio de variables en las integrales múltiples. OPERADORES VECTORIALES: Definición analítica de vector. Campos escalares. Gradiente de una función. Propiedades geométricas. Superficie de nivel y líneas de gradiente. Campos vectoriales. Divergencia de un vector. Interpretación física. El rotor. Líneas de rotor. El operador "Nabla". El Laplaciano de un vector. Funciones armónicas.  DERIVACIÓN DE VECTORES: Derivadas direccionales. Derivada total y parcial de un escalar o un vector respecto del tiempo.
Tema 9	INTEGRALES CURVILÍNEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN: Definición de integral curvilínea .Camino de integración. Interpretación gráfica. Extensión a funciones de tres variables. Circulación. Campos conservativos. Integrales de superficie y de volumen. FORMULAS INTEGRALES: Lema de Green. Teorema de la Divergencia. Formula de Gauss-Ostrogradsky. Formula de Green. Teorema del rotor. Teorema de Stokes
Tema 10	ECUACIONES DIFERENCIALES: Definición. Origen de las ecuaciones diferenciales. Orden y grado de una ecuación diferencial. Soluciones de las ecuaciones diferenciales. Solución general, particular y singular. Significado geométrico de las ecuaciones ordinarias de primer orden. Ecuaciones diferenciales de variables separables. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales lineales. Sustitución de Lagrange. Ecuaciones diferenciales exactas. Condición de simetría. Solución general. Factor integrante. Trayectorias ortogonales.

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