UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Y
AGRIMENSURA
ASIGNATURA : CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
II – AÑO 2012
Carreras para
las que se
dicta la materia : Ingeniería Eléctrica - Ingeniería Electrónica,
Ingeniería en Agrimensura, Licenciatura en
Física - Profesorado en Física y
Licenciatura en Química.
TEORÍA : Dr. SERGIO N. CANGIANI - Dr.
JUAN NAPOLES VALDEZ
Régimen :
Segundo Cuatrimestre
Horas
de clases teóricas : Total cuatrimestre
60 hs. - semanales 4 hs.
Horas
de clases practicas: Total cuatrimestre 60 hs. - semanales
4 hs.
TEMA 1
Espacios
: Espacios de n dimensiones. Espacio afín.
Espacios métricos. Espacio
Euclidiano.
Entornos, entornos
reducidos. Clasificación de
puntos : aislados,
de acumulación, interiores, exteriores, frontera. Contorno y frontera.
Curvas
y superficies : Métodos de definición
de curvas y superficies, familias de curvas y
superficies.
Funciones : El
concepto de función, dominio y rango
de una función,
funciones de dos y
de n variables
independientes. Representación gráfica. Escala funcional. Curvas de nivel.
Superficie de nivel.
TEMA 2
LIMITES: Limites de funciones de dos variables independientes.
Limite doble y limites iterados.
Relación entre los
mismos. Generalización para funciones de n variables.
CONTINUIDAD
:
Continuidad de funciones de dos variables
independientes. Continuidad
de funciones de
n variables independientes. Continuidad uniforme.
INFINITESIMOS
:
Comparación de funciones.
Infinitesimos. Comparación de infinitesimos. Infinitesimos de comparación
TEMA 3
DERIVABILIDAD Derivada de
una función de dos
variables independientes.
Interpretación geométrica de las
derivadas parciales. Derivadas
parciales de funciones de n
variables independientes. Relación entre la derivabilidad y la continuidad.
Derivadas parciales de
orden superior. Teorema
de Schwartz.
DIFERENCIABILIDAD
Diferenciabilidad de funciones
de dos variables
independientes. Diferencial total. Diferenciales parciales.
Diferencial de una
función de n
variables independientes. Relación
entre la diferenciabilidad, la derivabilidad
y la continuidad. Diferenciales
de orden superior.
El operador diferenciación y
su potencia simbólica.
Derivada direccional. Interpretación
geométrica de la diferencial total.
Plano tangente.
TEMA 4
FUNCIONES
COMPUESTAS Funciones compuestas de dos variables
independientes y de n variables
independientes. Derivabilidad de las
funciones compuestas. Diferenciabilidad
de las funciones compuestas. Derivadas
de orden superior de funciones
compuestas. Diferenciales de
orden superior de
funciones compuestas.
TEMA 5
TEOREMA
DEL VALOR MEDIO Teorema del valor medio
para funciones de dos variables independientes y para funciones
de n variables independientes.
FORMULAS DE MAC
LAURIN Y TAYLOR Fórmulas de Mac Laurin y
Taylor para funciones de una
variable independiente. Expresión de
Lagrange del termino complementario. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin para funciones de dos y n variables independientes. Expresión del
termino complementario.
TEMA 6
FUNCIONES
IMPLICITAS Funciones implícitas de
una variable independiente.
Discusión geométrica de su existencia. Teorema de existencia, unicidad, continuidad, derivabilidad y
diferenciabilidad de funciones
implícitas de una y n
variables independientes. Derivadas
y diferenciales sucesivas de una
función implícita.
SISTEMA DE
FUNCIONES IMPLICITAS Jacobiano. Sistema
de dos funciones implícitas.
Teorema de existencia, unicidad,
continuidad y derivabilidad.
Sistema de n
funciones implícitas. Teorema
de existencia, unicidad, continuidad y derivabilidad.
FUNCIONES
INVERSAS
Inversión de una
transformación. Transformación de coordenadas en el plano y en el espacio. Generalización. Jacobiano de un producto de transformaciones. Jacobiano de
la transformación inversa.
FORMAS
CUADRÁTICAS
Forma cuadrática sobre el
Rn, formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas.
Teoremas relativos.
EXTREMOS
LIBRES Y LIGADOS Extremos libres de funciones de dos variables independientes. Condiciones necesarias de
existencia. Puntos estacionarios. Condiciones suficientes. Extremos
libres de funciones de
n variables. Condiciones necesarias y condiciones
suficientes de existencia. Caso en que se anulan las derivadas hasta cierto orden. Extremos ligados. Métodos de los multiplicadores de Lagrange.
TEMA 8
INTEGRALES MULTIPLES Integral
doble. Región de
integración. Norma Definición de
integral doble. Propiedades de la integral doble. Calculo de integrales dobles. Integrales iteradas. La
integral triple. Calculo de integrales triples. Generalización. Cambio de variables en las integrales múltiples.
OPERADORES
VECTORIALES Definición analítica de
vector. Campos escalares. Gradiente de una función. Propiedades geométricas. Superficie de nivel y
líneas de gradiente.
Campos vectoriales. Divergencia
de un vector. Interpretación física. El rotor.
Líneas de rotor. El operador
"Nabla". El Laplaciano de un
vector. Funciones armónicas.
DERIVACION
DE VECTORES. Derivadas direccionales. Derivada total y parcial
de un escalar o un vector respecto del tiempo.
INTEGRALES
CURVILINEAS, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN Definición de
integral curvilínea . Camino
de integración. Interpretación gráfica. Extensión a funciones de tres variables. Circulación.
Campos conservativos. Integrales de
superficie y de volumen.
FORMULAS
INTEGRALES Lema de Green. Teorema de la divergencia. Formula de Gauss-Ostrogradsky. Formula de Green.
Teorema del rotor. Teorema de Stokes
TEMA 10
ECUACIONES
DIFERENCIALES Definición Origen de las ecuaciones
diferenciales. Orden y grado de una ecuación diferencial. Soluciones de las
ecuaciones diferenciales. Solución
general. particular y
singular. Significado geométrico
de las ecuaciones
ordinarias de primer
orden. Ecuaciones diferenciales de variables separables.
Ecuaciones diferenciales homogéneas.
Ecuaciones diferenciales
lineales. Sustitución de
Lagrange. Ecuaciones diferenciales exactas. Condición
de simetría. Solución general.
Factor integrante. Trayectorias
ortogonales.
BIBLIOGRAFIA
TEXTOS GENERALES
CALCULUS - T. APOSTOL - REVERTE
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - N. PISKUNOV
- EDITORIAL MIR - MOSCU
MATEMATICAS UNIVERSITARIAS - J.BRITTON-R.BON
KRIEGH y RUTLAND- CECSA
ANALISIS MATEMATICO - REY PASTOR-PI CALLEJA y
TREJO - KAPELUSZ
CALCULO AVANZADO - KAPLAN - CECSA
CALCULO AVANZADO - LOUIS BRAND - CECSA
CALCULO SUPERIOR - C. BUCK - Mc GRAW HILL
ANALISIS MATEMATICO - PROTTER MORREY - FONDO
EDUCATIVO INTERAMERICANO
CALCULO SUPERIOR - SPIEGEL - Mc. GRAW HILL
DIFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS - R COURANT
- BLACKIS
TEXTOS ESPECIALIZADOS
ANALISIS
VECTORIAL - TREJO - KAPELUSZ
VECTORES Y TENSORES - L SANTALO - EUDEBA
ANALISIS VECTORIAL - M. SPIEGEL - Mc GRAW HILL
ANALISIS VECTORIAL - L. BRAND - CECSA
ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL - HARRY LASS -
CECSA
MATEMATICAS SUPERIORES PARA INGENIERIA -
C.WYLIE - Mc. GRAW HILL
ECUACIONES DIFERENCIALES - F. AYRES - Mc. GRAW
HILL
ECUACIONES DIFERENCIALES - KELLS - Mc. GRAW
HILL
CALCULO VECTORIAL – JERROLD E. MARSDEN - ANTHONY J. TROMBA –
PEARSON – CUARTA EDICION
ANALISIS CLASICO ELEMENTAL - JERROLD E.
MARSDEN – M.J. HOFFMAN -
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA – SEGUNDA EDICION
CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA – LAARSON –
HOSTETLER - Mc. GRAW HILL – TERCERA EDICION
CALCULO
VARIAS VARIABLES - THOMAS / FINNEY - PEARSON – 9º EDICIÓN