| Un bloque de masa m, está situado a una altura h sobre
el origen O, cae sobre una plataforma de masa M cuyo soporte es un muelle de
constante k. El choque es inelástico, el bloque queda pegado a la plataforma.
Determinar el movimiento del sistema formado por el bloque, la plataforma y el muelle.
- Posición de equilibrio de la plataforma M sobre el muelle de constante k.
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La posición de equilibrio ye es aquella en la que el
peso del la plataforma se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle k·ye
=Mg |
- El bloque de masa m cae desde una altura h+ye antes de chocar
con la mesa.
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La velocidad antes del choque es
- Conservación del momento lineal
En el instante del choque, supondremos que el bloque y la mesa forman un sistema
aislado. Aplicando el principio de conservación del momento lineal
mv0=(m+M)v1. |
- Posición de equilibrio del sistema formado por el muelle, la mesa y el bloque.
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La posición de equilibrio x0 es aquella en la que el
peso del la mesa y el bloque se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle k·x0=(M+m)g |
- Sistema oscilante.
El periodo P del Movimiento
Armónico Simple es
La frecuencia angular es w =2p
/P
La ecuación del MAS es
x=-x0+A·sen(w t+j
)
La velocidad del sistema bloque-mesa se obtiene derivando la x respecto del
tiempo
v=Aw ·cos(w t+j )
La amplitud A y la fase inicial j , se
determina a partir de las condiciones iniciales.
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Como podemos ver en la figura el sistema parte en el instante t=0
de la posición -ye con velocidad v0 que tiene el
sistema bloque- plataforma después del choque. Tenemos el sistema de ecuaciones
-ye =-x0+A·senj
v0=Aw ·cosj
A partir de las cuales obtenemos la amplitud A y la fase inicial j . |
Ejemplo
Sea un sistema formado por
- Un bloque de masa m=10 kg
- Una mesa de masa M=20 kg
- Y un muelle de constante elástica k=2000 N/m
El bloque se deja caer desde una altura de 1 m sobre el nivel del muelle sin deformar,
que tomamos como origen.
- Posición de equilibrio de la mesa M sobre el muelle de constante k.
20·9.8=2000·ye por lo que ye=9.8 cm
- La velocidad antes del choque del bloque
El bloque cae desde una altura de 1.098 m, su velocidad es
v1=4.64 m/s
- Choque del bloque contra la plataforma
10·4.64=(10+20)·v0 por lo que v0=1.546 m/s ó
154.6 cm/s
- Posición de equilibrio del sistema formado por el bloque, la mesa y el muelle
(20+10)·9.8=2000·x0, por lo que x0=14.7 cm
- Movimiento Armónico Simple
Periodo de la oscilación
La frecuencia angular w =8.16 rad/s
Ecuación del MAS
x=-14.7+A·sen(w t+j ) cm
v= Aw ·cos(w
t+j ) cm/s
Condiciones iniciales, en el instante t=0
-9.8=-14.7+A·senj
-154.6=Aw · cosj
j =165.5º=2.89 rad
A=19.56 cm
La ecuación del MAS es
x=-14.7+19.56·sen(8.16t+2.89) cm
El bloque y la plataforma oscilan entre las posiciones –14.56-19.56=-34.26 cm por
debajo del origen y –14.7+19.56=4.86 cm por encima del origen.
Balance energético
- Antes del choque
- El bloque de masa m está en reposo a una altura h=1 m
Ep=mgh
- La plataforma ha descendido ye
Ep=-Mg·ye
- El muelle está comprimido ye
- En el momento del choque
La energía potencial del bloque de masa m se ha transformado en energía
cinética
- El choque es inelástico, una parte de la energía se pierde
donde v0 es la velocidad del conjunto bloque-plataforma después del
choque.
- Después del choque la energía del sistema es
- Energía potencial del conjunto bloque–plataforma se encuentran a ye
por debajo del origen
Ep=-(M+m)g·ye
- Energía potencial elástica del muelle
En el ejemplo estudiado anteriormente
m=10 kg, M=20 kg, k=2000 N/m. La velocidad después del choque v0=1.546
m/s
y la posición en la que ocurre el choque era ye=0.098 m. La energía
total
las posiciones x para las cuales v=0, se obtienen de la ecuación
Esta ecuación de segundo grado nos da dos posiciones x=0.3425 m y x=-0.048.
La posición más baja está 34.25 cm por debajo del origen, y la más alta 4.8 cm por
encima del origen. Valores que obtuvimos en el apartado anterior.
- La suma de estas tres clases de energías se va a mantener constante, mientras el
sistema está oscilando, ya que el conjunto bloque-plataforma- muelle esta bajo la acción
de dos fuerzas conservativas, el peso y la fuerza que ejerce el muelle deformado.
Introducir los siguientes datos en los respectivo controles de edición:
- La masa de la plataforma en kg
- La masa del bloque en kg
- La constante elástica del muelle que soporta a la plataforma en N/m
Se pulsa el botón titulado Inicio, el programa verifica los datos introducidos
y si son correctos se pulsa a continuación el botón titulado Empieza.
Cada vez que se realice un nueva "experiencia" se pulsa se cambian los datos
y se pulsa el botón titulado Inicio.
Se sugiere emplear los botones titulados Paso y Pausa para detener el
programa en cualquier momento y para ejecutar el programa paso a paso.
Primero, observamos la caída del bloque, su choque contra la plataforma y finalmente,
el movimiento oscilatorio del conjunto bloque-plataforma y muelle.
A la derecha del applet, se representa la posición en función del tiempo del bloque y
la plataforma cuando empiezan a oscilar, podemos medir, la amplitud, el periodo y apreciar
la fase inicial.
En la parte superior del applet, se representa la energía del sistema, el nivel cero
de energía potencia se ha situado en la base del muelle elástico, 50 cm por debajo del
origen. De este modo, las energías potenciales son siempre positivas, y se puede apreciar
visualmente las transformaciones entre los distintos tipos de energía, así como la
pérdida de energía en el momento del choque.
- La energía del bloque y de la plataforma se representa en forma de una barra de dos
colores, la parte roja representa la energía potencial y la parte azul la energía
cinética.
- La longitud de la barra representa la energía total de la partícula (plataforma o
bloque).
- La barra de color verde representa la energía potencial elástica del muelle.
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Choque entre una
partícula y un bloque
unido a un muelle