Encuentros de dos vehículos en movimiento circular

Cinemática

Movimiento rectilíneo
y circular

Movimiento rectilíneo

Movimiento de caída
de los cuerpos

Regresión lineal

Movimiento rectilíneo
uniforme

Movimiento rectilíneo
u. acelerado

Movimiento circular

Encuentro de dos
  vehículos

Relación entre las 
magnitudes lineales
y angulares

Enunciado del problema

Problemas de encuentros, en general

Dos vehículos describen la misma trayectoria circular. El primero está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es 60 r.p.m., el segundo está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale -p/6 rad/s². Sabiendo que en el instante inicial el primer móvil pasa por A, y dos segundos más tarde el segundo móvil pasa por B, llevando una velocidad angular de 120 r.p.m. Calcular:

El instante en el que los móviles se encuentran por primera vez

Veamos el movimiento antes de explicar el planteamiento del problema

Ecuaciones del movimiento de A: movimiento circular uniforme

El móvil sale del origen en el instante t=0.

a_A=0
w_A=2p
q_A=2p t

Ecuaciones del movimiento de B: movimiento uniformemente acelerado

El móvil sale de la posición p /2 en el instante t=2s.

Encuentros

Los encuentros no solamente se obtienen igualando las posiciones de ambos móviles q_A=q _B, sino también y por ser la trayectoria circular, aquellas cuya posición se diferencia en una circunferencia completa.

q_A+2kp =q_B con k=0, ± 1, ± 2, ± 3...

Examinemos en un cuadro la posición de los dos móviles en función del tiempo

t	q_A	q_B
2	4p (2 vueltas)	p /2	Sale el móvil B
2.5	5p (4p +p )	2.48p (2p +0.48p )	B detrás de A
2.6	5.2p (4p +1.2p )	2.87p (2p +0.87p )	B detrás de A
2.7	5.4p (4p +1.4p )	3.26p (2p +1.26p )	B detrás de A
2.8	5.6p (4p +1.6p )	3.64p (2p +1.64p )	B delante de A

Tal como apreciamos en la tabla de las posiciones de los móviles A y B en función del tiempo, el móvil B pasa al móvil A entre los instantes 2.7 y 2.8. El momento del primer encuentro será un instante en dicho intervalo de tiempo.

La relación que existe entre las posiciones del móvil A y del móvil B, tal como vemos en la tabla es

q_A-2p =q_B

Despejando el tiempo t en la ecuación de segundo grado resultante, obtenemos el instante del primer encuentro t=2.77 s.

Introduciendo t en la ecuación de la posición de A y de B obtenemos la posición de los móviles en el instante del encuentro

q_A=5.56p rad

q_B=3.56p rad

Problemas de encuentros en general

El applet que hemos presentado a principio de la página solamente sirve para describir el enunciado del problema. Podemos usar el applet que viene a continuación para resolver cualquier problema de encuentros en general.

La particularidad del applet es que en los controles de edición no solamente se pueden introducir números, sino también fracciones del número p. Por ejemplo si la velocidad de un móvil es:

p /2, se introduce pi/2.
3p /2, introducimos 3*pi/2 o bien, 3pi/2.
p, introducimos pi o PI.

El programa convierte el texto en un número decimal de doble precisión.