Modelado
Analítico en Relación al Rendimiento
-
Introducción
al Modelado Analítico y Teoría de Colas
-
Fuente, Llegadas
y Llegadas de Poisson
-
Tiempos de Servicio,
Capacidad de la Cola y Número de Servidores en el Sistema
-
Disciplinas de Colas
-
Intensidad de Tráfico
y Utilización del Servidor
-
Estado Estable
en Función de Soluciones Transitorias
-
Resultado de Little
-
Resumen del Proceso
de Poisson
-
Análisis
de un Sistema de Colas M/M/1
-
Análisis
de un Sistema de Colas M/M/c
-
Procesos de Markov
-
Procesos de Nacimiento
y Muerte
-
Análisis
del Rendimiento de un Subsistema de Disco
-
Fin
Introducción
al Modelado Analítico y Teoría de Colas
Algunas de las técnicas más conocidas de modelado
analítico son [7, Deitel]:
-
La teoría de colas.
-
Los procesos de Markov.
Los modelos analíticos:
-
Son las representaciones matemáticas de los sistemas.
-
Permiten al evaluador del rendimiento sacar conclusiones acerca del comportamiento
del sistema.
Las expresiones teoría de colas y teoría de líneas
(o filas) de espera deben considerarse equivalentes [7,
Deitel].
El término matemático cola significa una línea
de espera.
Si no hubiera líneas de espera se podría recibir servicio
de inmediato:
-
Sería lo deseable.
-
El costo de disponer de la suficiente capacidad de servicio para no tener
que esperar sería muy elevado.
Se consume cierta cantidad de tiempo en líneas de espera por servicio
pero:
-
El costo de ese servicio es menor debido a la mejor utilización
de la instalación de servicio.
Si existe una población de clientes que demandan cierto servicio
prestado por servidores:
-
Algunos clientes ingresarán a la red de colas y esperarán
que un servidor quede disponible.
Algunas colas son:
-
Ilimitadas: pueden crecer tanto como sea necesario para contener
a los clientes que esperan.
-
Limitadas: solo pueden contener un número fijo de clientes
en espera y quizás hasta ninguno.
Se deben tener en cuenta variables aleatorias que pueden ser descritas
por distribuciones probabilísticas.
La variable aleatoria “q” representa el tiempo que emplea
un cliente esperando en la cola a ser servido.
La variable aleatoria “s” representa la cantidad de tiempo
que emplea un cliente en ser servido.
La variable aleatoria “w” representa el tiempo total que emplea
un cliente en el sistema de colas: “w = q + s”.
Inicio:
Fin:
Fuente, Llegadas
y Llegadas de Poisson
Fuente
Los clientes son proporcionados a un sistema de
colas desde una fuente que puede ser infinita o finita [7,
Deitel].
Con una fuente infinita la cola de servicio
puede llegar a ser arbitrariamente grande.
Para una fuente finita la cola de servicio
es limitada, pero una fuente finita pero muy grande suele considerarse
como infinita.
Llegadas
Supondremos que los clientes llegan a un sistema
de colas en los tiempos:
t0<t1<t2<.
. . <tn.
Los clientes llegan de uno en uno y nunca hay una
colisión.
Las variables aleatorias “
tk” miden los tiempos entre las llegadas sucesivas
(arbitrario) y se denominan tiempos entre llegadas:
-
Son variables aleatorias independientes y
están idénticamente distribuidas:
tk
= tk - tk - 1; con
(k³1).
Llegadas de Poisson
Las llegadas pueden seguir distintos patrones
arbitrarios pero suele suponerse que forman un proceso de llegadas de
Poisson:
-
Los tiempos entre llegadas están distribuidos
exponencialmente:
-
La probabilidad de que lleguen exactamente “n” clientes en cualquier
intervalo
de longitud “t” es:
( e-lt
(lt)n ) / n!; con (n=0,1,2,.
. . ).
-
l es una tasa promedio de llegadas
constante expresada en “clientes por unidad de tiempo”.
-
El número de llegadas por unidad de tiempo se dice que tiene
distribución
de Poisson con una media l.
Inicio:
Fin:
Tiempos
de Servicio, Capacidad de la Cola y Número de Servidores en el Sistema
Tiempos de servicio
Se supone que los tiempos de servicio son aleatorios [7,
Deitel].
“ sk” es el tiempo de servicio que el k-ésimo
cliente requiere del sistema.
Un tiempo de servicio arbitrario se designa por “s”.
La distribución de los tiempos de servicio es:
Ws(t) = P(s £ t).
Para un servicio aleatorio con una tasa promedio de servicio
“ m”:
Ws(t) = P(s £ t)
= 1 - e-mt , con (t
³ 0).
Capacidad de la cola
Las colas deben tener:
-
Capacidad infinita:
-
Cada cliente que llegue puede entrar en el sistema de colas y esperar,
independientemente de cuántos clientes hay en espera [7,
Deitel].
-
Capacidad cero (o sistemas de pérdidas):
-
Los clientes que llegan cuando la instalación de servicio está
ocupada no podrán ser admitidos al sistema.
-
Capacidad positiva:
-
Los clientes que llegan solo esperan si hay lugar en la cola.
Número de servidores en el sistema
Los sistemas de colas se pueden categorizar según el número
de servidores en:
-
Sistemas de un solo servidor:
-
Tienen un solo servidor y nada más pueden darle servicio a un solo
cliente a la vez.
-
Sistemas de servidores múltiples:
-
Tienen “c” servidores con idéntica capacidad y pueden dar
servicio a “c” clientes a la vez.
Inicio:
Fin:
Disciplinas
de Colas
Son las reglas usadas para elegir al siguiente cliente de cola que
va a ser servido [7, Deitel].
La más conocida es la “FCFS” o primero en llegar, primero en
ser servido.
Generalmente se utilizan las siguientes notaciones:
-
Notación Kendall.
-
Notación Kendall abreviada.
Notación Kendall (A/B/c/K/m/Z):
-
A: distribución de tiempos entre llegadas.
-
B: distribución de tiempos de servicio.
-
c: número de servidores.
-
K: capacidad de cola del sistema.
-
m: número de clientes en la fuente.
-
Z: disciplina de cola.
Notación Kendall abreviada (A/B/c):
-
No hay límite en la longitud de la cola.
-
La fuente es infinita.
-
La disciplina de cola es “FCFS”.
-
“A” y “B” pueden ser:
-
GI: para tiempo entre llegadas general independiente.
-
G: para tiempo de servicio general.
-
Ek: para las distribuciones de tiempos entre llegadas
o de servicio Erlang-k.
-
M: para las distribuciones de tiempos entre llegadas o de servicio exponenciales.
-
D: para las distribuciones de tiempos entre llegadas o de servicio determinísticos.
-
Hk: para las distribuciones de tiempos entre llegadas
o de servicio hiperexponenciales (con “k” estados).
Inicio:
Fin:
Intensidad
de Tráfico y Utilización del Servidor
Intensidad de tráfico
Es una medida de la capacidad del sistema para dar servicio efectivo
a sus clientes [7, Deitel].
Se define como la razón de la media del tiempo de servicio
“E(s)” y la media del tiempo entre llegadas “E(
t)”.
La intensidad de tráfico “u” es:
u = [E(s)] / [E( t)] =
l E(s) = ( l / m):
l: tasa de llegadas.
m: tasa de servicio.
Es útil para determinar el número mínimo de servidores
idénticos que necesitará un sistema para dar servicio
a sus clientes:
-
Sin que las colas se hagan indefinidamente largas.
-
Sin tener que rechazar clientes.
-
Ej.: si E(s) = 17 segundos y E( t)
= 5 segundos, u = 17 / 5 = 3,4:
-
El sistema deberá tener un mínimo de 4 servidores.
Se debe tener en cuenta que:
-
La tasa de llegadas de los clientes es un promedio:
-
Es posible que no llegue ningún cliente durante un largo tiempo.
-
Es posible que los clientes lleguen en rápida sucesión, excediendo
la capacidad física de la cola y ocasionando el rechazo de clientes.
-
Si se utilizan colas de tamaño fijo debe haber capacidad suficiente
para soportar excesos ocasionales de la tasa de llegadas.
-
Se podrían utilizar colas de longitud variable junto con lista encadenada.
Utilización del servidor
Se define como la intensidad de tráfico por servidor:
r = u / c = l
/ mc.
Es la probabilidad de que un servidor determinado se encuentre ocupado.
Según la ley de los grandes números esta probabilidad
es aproximadamente la fracción de tiempo que cada servidor está
en uso.
En sistemas de un solo servidor es igual a la intensidad de
tráfico.
Inicio:
Fin:
Estado Estable
en Función de Soluciones Transitorias
Los sistemas de colas que se han “asentado” se dice que están
operando en estado estable [7, Deitel].
Generalmente la operación inicial de un sistema no es indicativa
de su comportamiento periódico.
Los sistemas de colas deben pasar por algún período inicial
de operación antes de tener un funcionamiento:
La solución y estudio de un sistema de colas se simplifica mucho
si se sabe que se encuentra en estado estable:
-
Ciertos parámetros importantes permanecen fijos.
-
Resulta relativamente fácil categorizar la operación del
sistema.
Las soluciones transitorias o dependientes del tiempo:
-
Son mucho más complejas.
-
Están fuera del alcance de este curso.
Inicio:
Fin:
Resultado
de Little
Es una de las mediciones más sencillas y útiles del rendimiento
de un sistema de colas [7, Deitel].
Relaciona las siguientes cantidades:
-
Wq: tiempo medio que emplea un cliente en una
cola.
-
l: tasa de llegadas.
-
Lq: número de clientes en la cola.
-
W: tiempo medio que emplea un cliente en el sistema.
-
L: número de clientes en el sistema.
El resultado de Little se expresa como:
Lq = lWq
L = lW
Inicio:
Fin:
Resumen del
Proceso de Poisson
Se define “P(k,t)” como la probabilidad de exactamente “k” llegadas
en un intervalo de tiempo de longitud “t” [7, Deitel].
Un proceso es de Poisson si y solo si:
-
Para intervalos apropiadamente pequeños Dt:
P(k,t) =
lDt para k = 1 (l
es la tasa promedio de llegadas).
1 - lDt para k = 0.
0 para k > 1.
-
Cualesquiera eventos definidos para tener lugar en intervalos de
tiempo no superpuestos son mutuamente independientes.
Un proceso también es de Poisson si los tiempos entre llegadas
sucesivas (tiempos entre llegadas de primer orden):
-
Son variables aleatorias exponenciales.
-
Idénticamente distribuidas.
Si la variable aleatoria “k” indica el número de llegadas:
-
La probabilidad de, exactamente, “k” llegadas en un intervalo
de longitud “t” es:
P(k; t) = [(lt)k e-lt]/k!;
t ³ 0; k = 0; 1; 2; ....
-
El valor esperado o valor medio de “k” es:
-
La varianza de “k” es:
La suma de dos variables de Poisson aleatorias independientes “x”e
“y”
también describen un proceso de Poisson:
-
Los valores esperados son:
E(y) = m2 =
l2t.
E(x) = m1 =
l1t.
-
La probabilidad de “k” llegadas en el tiempo “t” es:
P(k; t) = [(l1 +
l2)k e-(l1t+l2t)
]/k!; t ³ 0; k = 0; 1; 2; ....
P(k; t) = [(m1 + m2
) k e-(m1 + m2)
]/k!:
P(k; t) = [(ms k
e-ms ]/k!; ms
= m1 + m2
:
P(k; t) = [(lst)k
e-lst ]/k!; ls
= l1 + l2
La suma de “n” procesos de Poisson independientes resulta en un
proceso
de Poisson con una tasa de llegada:
l = Sin=
1 li
Para un proceso de Poisson con una tasa de llegada “ l”
se puede formar un nuevo proceso de Poisson utilizando borradas
aleatorias independientes:
-
Cada llegada al proceso original:
-
Se acepta al nuevo proceso con probabilidad “P”.
-
Se rechaza con probabilidad “1 - P”.
-
La tasa de llegada del nuevo proceso derivado es “lP”[7,
Deitel].
La generalización para la descomposición de un proceso
de Poisson en “n” procesos derivados independientes, cada uno con una
probabilidad asociada “ pi” resulta:
ln = pnl:
Sin= 1 pi
=
1.
Sin= 1 li
=
Sin=
1 pi
l=
lSin=
1 pi
= l.
En un proceso de Poisson:
-
La probabilidad de que no haya llegadas en un intervalo de longitud
“t” es:
P(0; t) = [(lt)0 e-lt
]/0!
= e-lt .
-
La probabilidad de una o más llegadas en un intervalo de longitud
“t” es:
La función de densidad de probabilidad para el tiempo
entre llegadas de primer orden (tiempo hasta la primer llegada) es:
ft(t) = le-lt
; (t ³ 0):
El valor esperado “t” es:
E(t) = 1/l.
La varianza es:
s t2 =
1 / l2 .
La función de densidad de probabilidad para el tiempo
entre llegadas de orden r-ésimo (tiempo hasta la r-ésima
llegada) es:
ft(t) = (lrtr-1e-lt)
/ (r - 1)!; (t ³ 0; r = 1; 2; ...).
El valor esperado “t” es:
E(t) = r/l.
La desviación estándar es:
s t2 =
r / l2 .
Las instalaciones de servicio pueden proporcionar tiempos de servicio
exponenciales:
-
La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a “t”
es:
P(S£t) = 1 - e-mt
; (t ³0).
-
La tasa promedio de servicio es “m”.
-
El tiempo promedio de servicio es “1 / m”.
-
La función de densidad de probabilidad para el tiempo de servicio
“t” es:
-
La media del tiempo de servicio es:
-
La varianza es “ 1/m2 ”.
Un servidor que opera de esta manera se denomina servidor exponencial.
Inicio:
Fin:
Análisis
de un Sistema de Colas M/M/1
Las fórmulas de estado para el sistema de colas M/M/c
son las siguientes [7, Deitel]:
-
Intensidad de tráfico:
-
Utilización del servidor:
-
Probabilidad de que todos los servidores estén en uso, por
lo que un cliente que llega debe esperar:
C(c,u) = [(uc )/c!] / [[(uc )/c!]+(1 - r)
[Sn=0c-1 [un
/n!]]].
-
Tiempo promedio en la cola:
Wq = [C(c,u)E(s)] / [c(1 - r)].
-
Tiempo promedio en el sistema:
-
Percentil 90 de tiempo de espera en la cola:
pq(90) = {[E(s)] / [c(c -
r)]}{ln[10C(c,u)]}.
Las fórmulas de estado para el sistema de colas M/M/1 son
las siguientes:
-
Se deducen de las anteriores:
C(c,u) = r = lE(s).
Wq = [rE(s)] / (1 - r).
W = E(s) / (1 - r).
pq(90) = W[ln(10r)].
Seguidamente se detalla un ejemplo para el análisis:
-
Los operadores de una empresa precisan usar un equipo especial.
-
La empresa opera las 24 hs. del día.
-
Los 48 operadores (como promedio) necesitan usar el equipo una vez al día.
-
Los operadores llegan al equipo en forma aleatoria (llegadas de Poisson).
-
El tiempo que cada operador utiliza el equipo es exponencial y como promedio
es de 20 minutos.
Utilizando un sistema de colas m/m/1 para modelar el uso del equipo
especial del ejemplo se obtiene:
-
Utilización del equipo:
u = lE(s) = (48/24).(1/3) = 2/3;
r= 2/3; E(s) = 20 minutos.
-
Tiempo promedio de espera de un operador antes de usar el equipo:
Wq = [rE(s)] / (1 - r)
= [(2 / 3). 20] / (1 /3) = 40 minutos.
-
Tiempo total que un operador utiliza el equipo:
W = Wq + E(s) = 40 min. + 20 min. = 60 minutos.
-
Percentil 90 de tiempo de espera en la cola:
pq(90) = W[ln(10r)]
=
60 ln (6,667) = 113,826 minutos:
-
Un 10 % de los operadores (unos 5 por día) sufre prolongadas esperas
de casi 2 horas.
Según el resultado de Little:
-
Tasa de llegada de operadores al equipo:
l = 48 / 24 (60) = 1 / 30 operadores
por minuto.
-
Operadores en espera:
Lq = (1 / 30) . 40 = 1,33 operadores en espera.
-
Operadores en el sistema:
L = (1 / 30) . 60 = 2 operadores en el cuarto del equipo.
Conclusión:
-
Un solo equipo no es suficiente para hacer frente a las necesidades
de los operadores sin provocar esperas excesivas.
Inicio:
Fin:
Análisis
de un Sistema de Colas M/M/c
Seguidamente se detalla un ejemplo para el análisis, que
es el mismo del tema anterior [7, Deitel]:
-
Si la decisión es adquirir más equipos, los interrogantes
son los siguientes:
-
¿Cuántos equipos adicionales deberán adquirirse para
mantener el percentil 90 de tiempo en espera por debajo de 10 minutos?.
-
¿Deberán mantenerse todos los equipos en un lugar central,
o deberán distribuirse por todo el edificio?:
-
(Nota: se debe ignorar el tiempo que les lleva a los operadores
llegar hasta los equipos).
Colocando los equipos en diferentes lugares de la empresa:
-
Cada uno de los equipos se debe analizar como un sistema de colas M/M/1.
-
La carga de trabajo debe dividirse en partes iguales entre los equipos.
-
Colocando 1, 2, 3, 4 o 5 equipos en localidades separadas obtenemos los
siguientes valores:
-
Utilización del servidor:r: 2/3; 1/3;
2/9; 1/6 y 2/15.
-
Tiempo de espera de servicio: E(s): 20 minutos en todos los casos.
-
Tiempo de espera en la cola: Wq: 40; 10; 5,7; 4 y 3,1
minutos.
-
Tiempo de espera en el sistema: W: 60; 30; 25,7; 24 y 23 minutos.
-
Percentil 90 de tiempo de espera en la cola:pq(90):
113,8; 36,1; 20,5; 12,3 y 6,6 minutos.
-
Conclusiones:
-
Los tiempos de espera en la cola bajan muy rápido tan pronto como
se añade el segundo equipo M/M/1.
-
El percentil 90 de tiempo de espera en la cola es superior a 10 minutos
hasta que se añade el quinto equipo.
Colocando todos los equipos en un lugar central:
-
Se considera un sistema de colas M/M/2 sencillo.
-
Utilizando las fórmulas de los sistemas M/M/c se obtienen
los siguientes valores:
-
Intensidad de tráfico: u: 2/3.
-
Utilización del servidor: r : 1/3:
-
Probabilidad de que todos los servidores se encuentren en este momento
en uso, por lo que un cliente que llega debe esperar: C(c,u): 1/6.
-
Tiempo promedio en la cola: Wq: 2,5 minutos.
-
Tiempo promedio en el sistema: W: 22,5 minutos.
-
Percentil 90 de tiempo de espera en la cola: pq(90)
: 7,66 minutos.
-
Conclusiones:
-
El percentil 90 de tiempo de espera en la cola del sistema M/M/2 es inferior
al criterio de 10 minutos.
-
Con solo 2 equipos centralizados en una posición se pueden eliminar
los problemas de espera del sistema de un solo equipo.
-
Para asegurar un percentil 90 de tiempo de espera en la cola inferior a
10 minutos serán necesarios:
-
5 equipos M/M/1 distribuidos, o.
-
2 equipos en una configuración M/M/2 central.
Inicio:
Fin:
Procesos de
Markov
Un proceso de Markov es un modelo adecuado para describir el
comportamiento de sistemas donde el sistema está situado en uno
de un conjunto de estados discretos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos S0, S1, S2,...., Sn[7,
Deitel].
El estado presente del sistema y las probabilidades de transición
entre varios estados del sistema, caracterizan el comportamiento futuro
del sistema.
Dado que un proceso de Markov se encuentra en un estado determinado,
su comportamiento futuro no depende de su historia anterior a su
entrada a ese estado.
Muchos procesos de Markov exhiben un comportamiento de estado estable,
es decir que las probabilidades de que el proceso se encuentre en un estado
determinado son constantes en el tiempo.
Se dice que un estado “Sj ” es transitorio si desde
un estado “Sk” que puede ser alcanzado desde “Sj
”, el sistema no puede regresar a “Sj ”.
Se dice que un estado “Sj ” es recurrente si desde cada estado “Sk”
alcanzable desde “Sj ”, el sistema puede regresar a “Sk”.
Una cadena sencilla es una serie de estados recurrentes tal que
el sistema puede llegar a cualquier estado de la cadena desde cualquier
otro estado de esta.
Un cambio de estado en un proceso de Markov de transición
continua puede producir cambios de estado en cualquier instante de
una escala de tiempo continua.
Inicio:
Fin:
Procesos de
Nacimiento y Muerte
Son un caso importante de los procesos de Markov [7,
Deitel].
Son particularmente aplicables al modelado de sistemas de computación.
Un proceso de Markov de nacimiento y muerte continuo tiene la
propiedad de que:
-
lij = 0 si j ¹
i + 1 y j ¹ i - 1.
-
lij es la tasa a la cual ocurren
las transiciones del estado “Si” al estado “Sj
”.
-
l i(i+1) = bi es
la tasa promedio de nacimiento desde el estado “Si”.
-
l i(i - 1) = di es
la tasa promedio de muerte desde el estado “Si”.
-
“Pi” es la probabilidad de estado estable de que
el proceso se encuentre en el estado “Si”.
En estado estable, en cualquier intervalo de tiempo aleatorio “Dt”,
el proceso puede realizar las siguientes transiciones con la misma
probabilidad:
Si ® Si+1
con una probabilidad Pibi .
Si+1®Si
con una probabilidad Pi+1di+1:
Pibi = Pi+1di+1.
La resolución de un proceso de nacimiento y muerte continuo
significa determinar los diferentes “Pi” usando las relaciones:
Pi+1 = (bi / di+1) Pi
.
Sni=1 Pi =
1.
Inicio:
Fin:
Análisis
del Rendimiento de un Subsistema de Disco
Se supone la siguiente situación [7, Deitel]:
-
Las peticiones de acceso a disco llegan como un proceso de Poisson
con una tasa promedio de “l” peticiones por
minuto.
-
Si el disco está en uso, la petición se coloca en una cola
primero en llegar, primero en ser servido.
-
Cuando el disco queda disponible se sirve la primera petición de
la cola.
-
El tiempo de servicio es una variable aleatoria exponencialmente
distribuida con un valor esperado de “1 / m”
minutos.
-
La tasa promedio de servicio es de “ m” peticiones
por minuto.
Se debe determinar, para cada uno de los casos:
-
El valor esperado para el número total de peticiones al disco
pendientes (en la cola o en servicio).
-
Las probabilidades del estado límite.
Caso I:
-
El dispositivo de disco contiene un solo brazo.
-
Solo puede dar servicio a una petición a la vez.
-
La tasa de servicio es “m”.
Caso II:
-
El dispositivo de disco contiene gran número de brazos móviles.
-
Cada brazo puede dar servicio a una petición de disco a la misma
tasa “m”.
-
Se supone que un número infinito de peticiones pueden recibir servicio
en paralelo.
Solución al caso I
“Si” es el estado del sistema cuando hay “i”peticiones
de disco al dispositivo de servicio de disco.
La tasa de llegadas de peticiones es independiente del estado
del sistema:
-
La probabilidad de la transición Si ®
Si+1 en el siguiente intervalo de tiempo “Dt”
es “lDt”.
Se considera al sistema como un proceso de nacimiento y muerte continuo
de cadena sencilla y estados infinitos con:
-
di = 0 con i = 0.
-
di = m con i = 1, 2,
3, ...
-
bi = l con i = 0, 1,
2, ...
-
Solo una petición puede ser servida en un momento dado y se sirve
a una tasa m.
-
m > l:
-
Asegura que la longitud de la cola de peticiones en espera no crezca
indefinidamente.
Se utilizan las relaciones:
El número promedio de peticiones pendientes es:
Solución al caso II
Con “i” peticiones siendo servidas:
-
La probabilidad de que una petición en particular acabe siendo
servida dentro del siguiente “ Dt”
es “ mDt”.
-
La probabilidad de que exactamente una petición cualquiera acabe
es “i mDt” (buena aproximación
de primer orden).
-
Cualquiera de las “i” peticiones puede terminar y provocar un cambio
de estado.
El sistema se ve como un proceso de nacimiento y muerte continuo de
cadena sencilla y de estados infinitos con:
-
bi = l con i = 0, 1,
2, ...
-
di = 0 con i = 0.
-
di = im con i = 1,
2, 3, ...
Ningún cliente tiene que esperar ya que se suponen infinitos
servidores en paralelo.
Se utilizan las relaciones:
Conclusiones:
-
En el sistema de un solo servidor, si una petición que llega
encuentra ocupado el dispositivo de disco, debe esperar.
-
En el sistema de servidores infinitos, las peticiones que llegan
siempre entran al servicio de inmediato.
-
En el sistema de un solo servidor:
-
A medida que l tiende a m
la probabilidad de que el sistema se encuentre ocioso decrece rápidamente:
-
Las peticiones que llegan esperan.
-
El número promedio de peticiones pendientes crece con rapidez.
-
En el sistema de servidores infinitos:
-
El número promedio de peticiones pendientes tiende a 1.
Inicio:
Fin:
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