El modelado analítico en relación al rendimiento es de gran importancia para el planeamiento de capacidad.
 








Modelado Analítico en Relación al Rendimiento
 


 
 

  1. Introducción al Modelado Analítico y Teoría de Colas
  2. Fuente, Llegadas y Llegadas de Poisson
  3. Tiempos de Servicio, Capacidad de la Cola y Número de Servidores en el Sistema
  4. Disciplinas de Colas
  5. Intensidad de Tráfico y Utilización del Servidor
  6. Estado Estable en Función de Soluciones Transitorias
  7. Resultado de Little
  8. Resumen del Proceso de Poisson
  9. Análisis de un Sistema de Colas M/M/1
  10. Análisis de un Sistema de Colas M/M/c
  11. Procesos de Markov
  12. Procesos de Nacimiento y Muerte
  13. Análisis del Rendimiento de un Subsistema de Disco
  14. Fin


Introducción al Modelado Analítico y Teoría de Colas

Algunas de las técnicas más conocidas de modelado analítico son [7, Deitel]:

Los modelos analíticos: Las expresiones teoría de colas y teoría de líneas (o filas) de espera deben considerarse equivalentes [7, Deitel].

El término matemático cola significa una línea de espera.

Si no hubiera líneas de espera se podría recibir servicio de inmediato:

Se consume cierta cantidad de tiempo en líneas de espera por servicio pero: Si existe una población de clientes que demandan cierto servicio prestado por servidores: Algunas colas son: Se deben tener en cuenta variables aleatorias que pueden ser descritas por distribuciones probabilísticas.

La variable aleatoria “q” representa el tiempo que emplea un cliente esperando en la cola a ser servido.

La variable aleatoria “s” representa la cantidad de tiempo que emplea un cliente en ser servido.

La variable aleatoria “w” representa el tiempo total que emplea un cliente en el sistema de colas: “w = q + s”.

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Fuente, Llegadas y Llegadas de Poisson

Fuente

Los clientes son proporcionados a un sistema de colas desde una fuente que puede ser infinita o finita [7, Deitel].

Con una fuente infinita la cola de servicio puede llegar a ser arbitrariamente grande.

Para una fuente finita la cola de servicio es limitada, pero una fuente finita pero muy grande suele considerarse como infinita.

Llegadas

Supondremos que los clientes llegan a un sistema de colas en los tiempos:

t0<t1<t2<. . . <tn.
Los clientes llegan de uno en uno y nunca hay una colisión.

Las variables aleatorias tk miden los tiempos entre las llegadas sucesivas (arbitrario) y se denominan tiempos entre llegadas:

Llegadas de Poisson

Las llegadas pueden seguir distintos patrones arbitrarios pero suele suponerse que forman un proceso de llegadas de Poisson:


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Tiempos de Servicio, Capacidad de la Cola y Número de Servidores en el Sistema

Tiempos de servicio

Se supone que los tiempos de servicio son aleatorios [7, Deitel].

“ skes el tiempo de servicio que el k-ésimo cliente requiere del sistema.

Un tiempo de servicio arbitrario se designa por “s”.

La distribución de los tiempos de servicio es:

Ws(t) = P(s £ t).
Para un servicio aleatorio con una tasa promedio de servicio “ m”:
Ws(t) = P(s £ t) = 1 - e-mt , con (t ³ 0).
Capacidad de la cola

Las colas deben tener:

Número de servidores en el sistema

Los sistemas de colas se pueden categorizar según el número de servidores en:


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Disciplinas de Colas

Son las reglas usadas para elegir al siguiente cliente de cola que va a ser servido [7, Deitel].

La más conocida es la “FCFS” o primero en llegar, primero en ser servido.

Generalmente se utilizan las siguientes notaciones:

Notación Kendall (A/B/c/K/m/Z): Notación Kendall abreviada (A/B/c):


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Intensidad de Tráfico y Utilización del Servidor

Intensidad de tráfico

Es una medida de la capacidad del sistema para dar servicio efectivo a sus clientes [7, Deitel].

Se define como la razón de la media del tiempo de servicio “E(s)” y la media del tiempo entre llegadas “E( t)”.

La intensidad de tráfico “u” es:

u = [E(s)] / [E( t)] = l E(s) = ( l / m):

l: tasa de llegadas.
m: tasa de servicio.

Es útil para determinar el número mínimo de servidores idénticos que necesitará un sistema para dar servicio a sus clientes: Se debe tener en cuenta que:


Utilización del servidor

Se define como la intensidad de tráfico por servidor:

r = u / c = l / mc.
Es la probabilidad de que un servidor determinado se encuentre ocupado.

Según la ley de los grandes números esta probabilidad es aproximadamente la fracción de tiempo que cada servidor está en uso.

En sistemas de un solo servidor es igual a la intensidad de tráfico.

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Estado Estable en Función de Soluciones Transitorias

Los sistemas de colas que se han “asentado” se dice que están operando en estado estable [7, Deitel].

Generalmente la operación inicial de un sistema no es indicativa de su comportamiento periódico.

Los sistemas de colas deben pasar por algún período inicial de operación antes de tener un funcionamiento:

La solución y estudio de un sistema de colas se simplifica mucho si se sabe que se encuentra en estado estable: Las soluciones transitorias o dependientes del tiempo:


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Resultado de Little

Es una de las mediciones más sencillas y útiles del rendimiento de un sistema de colas [7, Deitel].

Relaciona las siguientes cantidades:

El resultado de Little se expresa como:
Lq = lWq
L = lW


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Resumen del Proceso de Poisson

Se define “P(k,t)” como la probabilidad de exactamente “k” llegadas en un intervalo de tiempo de longitud “t” [7, Deitel].

Un proceso es de Poisson si y solo si:

Un proceso también es de Poisson si los tiempos entre llegadas sucesivas (tiempos entre llegadas de primer orden): Si la variable aleatoria “k” indica el número de llegadas: La suma de dos variables de Poisson aleatorias independientes “x”e “y” también describen un proceso de Poisson: La suma de “n” procesos de Poisson independientes resulta en un proceso de Poisson con una tasa de llegada:
l = Sin= 1 li
Para un proceso de Poisson con una tasa de llegada “ l se puede formar un nuevo proceso de Poisson utilizando borradas aleatorias independientes: La generalización para la descomposición de un proceso de Poisson en “n” procesos derivados independientes, cada uno con una probabilidad asociada “ pi resulta:
ln = pnl:
Sin= 1 pi = 1.
Sin= 1 li = Sin= 1 pi l= lSin= 1 pi = l.
En un proceso de Poisson: La función de densidad de probabilidad para el tiempo entre llegadas de primer orden (tiempo hasta la primer llegada) es:
ft(t) = le-lt ; (t ³ 0):
El valor esperado “t” es:
E(t) = 1/l.
La varianza es:
s t2 = 1 / l2 .
La función de densidad de probabilidad para el tiempo entre llegadas de orden r-ésimo (tiempo hasta la r-ésima llegada) es:
ft(t) = (lrtr-1e-lt) / (r - 1)!; (t ³ 0; r = 1; 2; ...).
El valor esperado “t” es:
E(t) = r/l.
La desviación estándar es:
s t2 = r / l2 .
Las instalaciones de servicio pueden proporcionar tiempos de servicio exponenciales: Un servidor que opera de esta manera se denomina servidor exponencial.

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Análisis de un Sistema de Colas M/M/1

Las fórmulas de estado para el sistema de colas M/M/c son las siguientes [7, Deitel]:

Las fórmulas de estado para el sistema de colas M/M/1 son las siguientes: Seguidamente se detalla un ejemplo para el análisis: Utilizando un sistema de colas m/m/1 para modelar el uso del equipo especial del ejemplo se obtiene: Según el resultado de Little: Conclusión:


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Análisis de un Sistema de Colas M/M/c

Seguidamente se detalla un ejemplo para el análisis, que es el mismo del tema anterior [7, Deitel]:

Colocando los equipos en diferentes lugares de la empresa: Colocando todos los equipos en un lugar central:


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Procesos de Markov

Un proceso de Markov es un modelo adecuado para describir el comportamiento de sistemas donde el sistema está situado en uno de un conjunto de estados discretos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos S0, S1, S2,...., Sn[7, Deitel].

El estado presente del sistema y las probabilidades de transición entre varios estados del sistema, caracterizan el comportamiento futuro del sistema.

Dado que un proceso de Markov se encuentra en un estado determinado, su comportamiento futuro no depende de su historia anterior a su entrada a ese estado.

Muchos procesos de Markov exhiben un comportamiento de estado estable, es decir que las probabilidades de que el proceso se encuentre en un estado determinado son constantes en el tiempo.

Se dice que un estado “Sj ” es transitorio si desde un estado “Sk que puede ser alcanzado desde “Sj, el sistema no puede regresar a “Sj.

Se dice que un estado “Sj ” es recurrente si desde cada estado “Sk” alcanzable desde “Sj ”, el sistema puede regresar a “Sk”.

Una cadena sencilla es una serie de estados recurrentes tal que el sistema puede llegar a cualquier estado de la cadena desde cualquier otro estado de esta.

Un cambio de estado en un proceso de Markov de transición continua puede producir cambios de estado en cualquier instante de una escala de tiempo continua.

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Procesos de Nacimiento y Muerte

Son un caso importante de los procesos de Markov [7, Deitel].

Son particularmente aplicables al modelado de sistemas de computación.

Un proceso de Markov de nacimiento y muerte continuo tiene la propiedad de que:

En estado estable, en cualquier intervalo de tiempo aleatorio Dt”, el proceso puede realizar las siguientes transiciones con la misma probabilidad:
Si ® Si+1 con una probabilidad Pibi .
Si+1®Si con una probabilidad Pi+1di+1:
Pibi = Pi+1di+1.
La resolución de un proceso de nacimiento y muerte continuo significa determinar los diferentes “Pi usando las relaciones:
Pi+1 = (bi / di+1) Pi .
Sni=1 Pi = 1.


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Análisis del Rendimiento de un Subsistema de Disco

Se supone la siguiente situación [7, Deitel]:

Se debe determinar, para cada uno de los casos: Caso I: Caso II: Solución al caso I

“Si es el estado del sistema cuando hay “i”peticiones de disco al dispositivo de servicio de disco.

La tasa de llegadas de peticiones es independiente del estado del sistema:

Se considera al sistema como un proceso de nacimiento y muerte continuo de cadena sencilla y estados infinitos con: Se utilizan las relaciones:

El número promedio de peticiones pendientes es:

Solución al caso II

Con “i” peticiones siendo servidas:

El sistema se ve como un proceso de nacimiento y muerte continuo de cadena sencilla y de estados infinitos con: Ningún cliente tiene que esperar ya que se suponen infinitos servidores en paralelo.

Se utilizan las relaciones:

Conclusiones:


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Autor: lrmdavid@exa.unne.edu.ar

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